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每 日 数 学 挑 战 【第四期(並不)】


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上三角矩阵的逆我记得有快速公式吧?

而且这个矩阵,用初等行变换做就可以?

令该矩阵=A

考虑矩阵A和单位矩阵I

用初等行变换把A变为I的话,需要第二行*-1加到第一行,第三行*-1加到第二行……

同样方法应用到I上

所以解是

1 -1 0 0

0 1 -1 0

0 0 1 -1

这样的主对角线1,主对角线往右一个是-1,剩余全0

,由yhz012修改
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24 分钟前, yhz012 说道:

上三角矩阵的逆我记得有快速公式吧?

而且这个矩阵,用初等行变换做就可以?

令该矩阵=A

考虑矩阵A和单位矩阵I

用初等行变换把A变为I的话,需要第二行*-1加到第一行,第三行*-1加到第二行……

同样方法应用到I上

所以解是

1 -1 0 0

0 1 -1 0

0 0 1 -1

这样的主对角线1,主对角线往右一个是-1,剩余全0

好強! 比用cofactor 餘子式的方案快多了!

NierPod042约寒幼藏出去郊游,结果被放了鸽子,只好抓住鸽子煲汤,小鱼路过喝了一口点了个赞并扔下3节操

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9 分钟前, NierPod042 说道:

好強! 比用cofactor 餘子式的方案快多了!

余子式我是觉得要快速解还要找规律吧,而且余子式会破坏掉本身上三角的漂亮感(x,所以我本能的在抗拒

不如说更通用的情况我也能不用余子式的方式我也不想用

 

其实看到这个答案之后还有一个递推的方法

首先1的逆矩阵是1

然后考虑[[1 1] [0 1]]的矩阵,令A为1,B为1,C为0,D为1,得到逆矩阵是[A^-1, -A^-1 B D^-1] [0, D^-1],其中A^-1上一次iteration已经有了是1,D是常数1所以逆恒为1,B是全1向量所以和A^-1右乘是对A^-1的行求和。

于是得到逆是[1 -1][0 1]

继续下一次iteration,A为[1 1][0 1]矩阵,B为[1 1]^T向量,C为[0 0]向量,D为1。

所以左上角是上一步的逆,右上角是上一步逆的行求和后加个负号[0, -1],左下角是0,右下角是1。得到[1 -1 0][0 1 -1][0 0 1]

于是规律出来了

,由yhz012修改
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59 分钟前, yhz012 说道:

余子式我是觉得要快速解还要找规律吧,而且余子式会破坏掉本身上三角的漂亮感(x,所以我本能的在抗拒

不如说更通用的情况我也能不用余子式的方式我也不想用

 

其实看到这个答案之后还有一个递推的方法

首先1的逆矩阵是1

然后考虑[[1 1] [0 1]]的矩阵,令A为1,B为1,C为0,D为1,得到逆矩阵是[A^-1, -A^-1 B D^-1] [0, D^-1],其中A^-1上一次iteration已经有了是1,D是常数1所以逆恒为1,B是全1向量所以和A^-1右乘是对A^-1的行求和。

于是得到逆是[1 -1][0 1]

继续下一次iteration,A为[1 1][0 1]矩阵,B为[1 1]^T向量,C为[0 0]向量,D为1。

所以左上角是上一步的逆,右上角是上一步逆的行求和后加个负号[0, -1],左下角是0,右下角是1。得到[1 -1 0][0 1 -1][0 0 1]

于是规律出来了

新方法利用了block matrix的分開運算性質呢

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