娱乐 又 是 一 个 数 学 挑 战 #1

[Fezz240]

每天不给自己复个习，隔天就会增添一分咸鱼的模样（某喵：虾米？？？我家主人脑袋已经烧了，都不知道再讲啥了喵...
所以就来出个题吧～答案在3位数到4位数之间，穷举的话应该还是可行（吧？
#题：

x + y 小于等于 50 的非负整数解共有几组？

#为了避免脑没动到而出的另一题：

x + y 小于等于 50 的非负整数解之中，满足 x 大于等于 y 的共有几组？

[Fezz240]

正解：１３２６与６７６，大家的答案不是正确就是十分接近呢～拍手拍手
下面再来讲讲水晶酱怎么解的
１．排列组合

第一题，我现在有50颗蛋要分给ｘｙ两人，但是在运送过程中有些破了，这些丢到垃圾桶ｚ里
题目变成：ｘ＋ｙ＋ｚ＝50的非负整数解
再转化：将50个「1」跟2个「＋」排列的方式数量？
例：＋＋(1*50)，代表 ｘ＝ 0，ｙ＝ 0，ｚ＝ 50
例：(1*15)+(1*20)+(1*15)，代表ｘ＝ 15，ｙ＝ 20，ｚ＝ 15
排列方式：
先把50个1排成一列，至此只有一种排法（大家都一样，没得排）
此时在这50个1左右插入一个＋，共有51个位置可插入
再插入一个＋，共有52个位置可插入
然而诸如「先插入第26个位置再插入第43个位置」与「先插入第43个位置再插入第26个位置」这两种解其实是一样的，因此最后答案除二
51*52／2 = 1326

第二题，先取第一题的答案1326，其中：
ｘ＞ｙ与ｘ＜ｙ的解数量相同，加上ｘ＝ｙ的解＝1326
ｘ＝ｙ的解很好算，(0, 0)  (1, 1)  (2, 2)... (25, 25)共26组
(1326 - 26)／2则是ｘ＞ｙ或ｘ＜ｙ的解数量，加回26就是ｘ大于等于ｙ解的数量
650＋26 ＝ 676

２．线性规划

第一题，画出ｘ＋ｙ大于等于50的线，与ｘｙ轴形成三角形，交点(0, 0)，(50, 0)，(0, 50)
其中在三边上的格子点共51＋51＋51－3＝150个
利用皮克定理：面积＝(多边形边上格子点／2)＋多边形内格子点－1
50*50／2 = (51＋51＋51－3)／2＋i－1
i = 1176
加上边上格子点个数 1176 + 150 = 1326

第二题，在第一题的图上，再做ｘ等于ｙ的线，与ｘ轴和题一所画的线形成三角形，交点(0, 0)，(25, 25)，(50, 0)
边上格子点＝51＋26＋26－3＝100
再利用皮克定理
50*25／2 = (51＋26＋26)／2＋i－1
i = 576
加上边上格子点个数 576 + 100 = 676

五月 20, 2021，由Fezz240修改