娱乐 偶得的一道数学/算法相关题

[mamamama]

于 2022/3/26 于 PM10点46分, jas 说道:

 

设S(g,n)代表gcd=g，已添加原料个数=n的状态。E(g,n)代表继续添加原料个数的期望。那么原题就是求E(g,0)。

对g分解因数，得到g的质因数列表a[t],对应指数列表b[t]，有
g = a0^b0 + a1^b1 + ... + at^bt，

于是，后继的g能表示为
g' = a0^c0 + a1^c1 + ... + at^ct，其中ci满足0<=ci<=bi

接下来要遍历[c0,c1,...ct]的组合，算出每种组合的概率P((g',n+1)|(g,n))和期望E(g',n+1)，相乘再累加，就得到了要求的E(g,n)

    概率P((g',n+1)|(g,n))的计算：
        1.如果bi>ci，则将对应的ai记入集合d
        2.从1～int(m/g')的整数中，筛掉集合d的成员的倍数。剩余数字的个数cnt，即为S(g,n)->S(g',n+1)的途径数
        3.S(g,n)时，有m-n个数可选。因此概率为cnt/(m-n)

    期望E(g',n+1)的计算：
        递归。显然递归次数小于m，能在有限步内完成。可以开个hashmap做缓存

    递归的边界条件：
        1. g=1时，不用继续。E(1,x) = 0
        2. n>=m/g时，g的倍数全部加进S了，下个g一定变小。P((g,n+1)|(g,n)) = 0

例如，m=100时，求E(60,1)
    1. 60 = 2^2 * 3^1 * 5^1, 得 a=[2,3,5], b=[2,1,1]，需遍历(2+1)*(1+1)*(1+1)=12种状态
    2. 以c=[1,0,1]为例，这时g‘= 2^1 * 5^1 = 10，对应S(10,2)
        a) b0>c0, b1>c1, b2=c2, 得到的集合d为{a0,a1} = {2,3}
        b) 从不超过100/10=10的整数中，去掉2和3的倍数，剩余3个数(即1,5,7)。所以有3个数能使g变成10(即10,50,70)
        c) result += 3 * E(10,2)，这一步要递归计算E(10,2)
    3. c的遍历结束后，result/(100-1)，就是E(60,1)

 

那个复杂度估得很松：因为E(g,0)有两个维度，可能要计算g*m个状态。如果g m成比例，就成了m^2。再假设每个子状态需要k～mk次运算，相乘就是m^2~m^3

这个状态看起来是与n无关的，应该能直接递推gcd=g时期望要加的菜数量