娱乐 [数学算法挑战]趁有空，悄咪咪出个数列相关的数学问题

[Tokur]

防止没get到方法，补充了两个小问

已知对于任意正整数n,有a(n+1)=a(n)^2-2
(I)a(1)=1,求a(n)
(II)a(1)=2,求a(n)
(III)a(1)=3,求a(n)

虽然说这是个非线性递推公式，不过构造技巧足够的话，也不需要什么特别高端的工具呢w

九月 10, 2022，由Tokur修改

[Tokur]

3 分钟前，抹消思绪说道:

好了，前两问结果易得，摆烂了。

前两问结果显然，剩下一问证明交给读者（x）

[Tokur]

16 小时前，huancai77说道:

代换a_n=2cosh(x_n)  (cosh(x)=(e^x+e^-x)/2)  得到一个式子（具体啥可以自己写下，没有latex太麻烦）

利用性质cosh(2x)=2*cosh(x)^2-1 得到cosh(x_{n+1})=cosh(2*x_n)  取同一支就有x_{n+1}=2*x_n

a1=3即e^x1+e^-x1=3,解得两根p，q

a_n=2cosh(2^n-1 *x1)=(e^x1)^(2^n-1)+(e^-x1)^(2^n-1)=p^(2^n-1)+q^(2^n-1)

好喔w 答案基本是对的，除了懒没解pq外233（x）p,q解出来是(3±\sqrt{5})/2，不过说起来咱想问问，ch(x_{n+1})=ch(2x_n)可以直接取x_{n+1}=2*x_n呢x 如果取x_{n+1}=-2*x_n似乎也是可以的 除了使用面向答案证明的数学归纳法，似乎无论是使用三角换元用复数表示还是双曲换元，都躲不开这个问题 @huancai77

16 小时前，huancai77说道:

事实上 对x_{n+1}=ax_n^2+bx_n+c，判别式为2b 或2b+8的都有显的结果 一种配方做 另一种三角换元

其他情况基本没有 可以看看Mandelbrot set

是的w 不过有些情况是可以得出类常数列的结果w

九月 11, 2022，由Tokur修改

[Tokur]

9 小时前，骚男说道:

……构造时意识到了一些不对劲（咱已经是多年没碰数学的废物辣w

不过倒是能构造出来

1/2 a_(n+1) = 1/2 a_n ^ 2 -1

然后就是楼上用到的三角换元 

不过完整来看，是要判断1/2 an 的范围，来决定用cosx 还是 coshx ……

依稀记得这个-2系数是比较特殊的来着？

揉揉男酱w 其实这个例子是咱在学不动点构造的时候想到的

这个数列能解出不动点2和-1，不过也仅限于此，得到a(n+1)-2=(a(n)-2)(a(n)+2)这样的形式，后面就无法继续推进了

其实如果不限制使用复数表示的话，用cos和cosh都是可以的说，在前者会得到一个复数三角函数表示实数的一个实例ww

[Tokur]

刚刚，抹消思绪说道:

所以第三问和前两问到底有什么关系。

都··都可以用数学归纳法做（x）

[Tokur]

3 小时前，骚男说道:

 龙娘，斯巴拉西！

 问了咱搞数学的同学，如果不是-2的话，推不出正常的通项（大概这个意思w

 那么龙娘会去参加竞赛这类的嘛  （有端联想，今天是高中数竞的复赛w

咱在网上有查到相应的判别式什么的w

猜猜www

[Tokur]

1 小时前，huancai77说道:

这是因为把sin 和 sinh分开本来就是一种委曲求全的作法 如果我们在复数域上看就有一种统一的思路

复数域上 sinz=(e^iz-e^-iz)/2i  cosz=(e^iz+e^-iz)/2

明显有z属于R时和原来的三角函数一样 z=-iR时有cosh(R)=cos(-iR) sinh(R)=isin(-iR)    (也就是说ch和原来的cos均是复的cos的一个截面)

此时，和ch的偶函数性质不同 只有cos(z)=cos(z+2kpi)的周期性，该周期性实际上是由e^z带来的（实际上那个负号就隐藏在周期性中）

那么，我们实际上可以令一种新的“数”z_0={所有z_0+2kpi}（这形成了一种等价关系），那实质上就把复数域用2pi长的带子割开了（这实际上是一个求取商集的过程）

那我们就可以做对应：域C 对应 新数 对应 代表元（0<=Im<2pi),这最后解释了为啥我们可以直接取0<=Im<2pi这样一个定义域（cos的一支）在实的就对应是取了0到正无穷那一段

 

唔姆w 前面的部分咱可以理解 查了一下，后面的部分是集合论的东西嘛ww 虽然说咱还没学到x，但是感觉很奇妙的说ww 商集什么的还没了解过x 倒是代表元在学初等数论的时候有了解到

九月 11, 2022，由Tokur修改

[Tokur]

嘛ww 咱给一个面向答案写题的证明，如下:

[Tokur]

6 小时前，骚男说道:

 快去学离散数学，可有意思了（

 玩玩反正无妨ww

突然好奇男酱是学什么的（）数学么wwwww

九月 12, 2022，由Tokur修改