娱乐 [数学算法挑战]趁有空，悄咪咪出个数列相关的数学问题

[huancai77]

代换a_n=2cosh(x_n)  (cosh(x)=(e^x+e^-x)/2)  得到一个式子（具体啥可以自己写下，没有latex太麻烦）

利用性质cosh(2x)=2*cosh(x)^2-1 得到cosh(x_{n+1})=cosh(2*x_n)  取同一支就有x_{n+1}=2*x_n

a1=3即e^x1+e^-x1=3,解得两根p，q

a_n=2cosh(2^n-1 *x1)=(e^x1)^(2^n-1)+(e^-x1)^(2^n-1)=p^(2^n-1)+q^(2^n-1)

事实上 对x_{n+1}=ax_n^2+bx_n+c，判别式为2b 或2b+8的都有显的结果 一种配方做 另一种三角换元

其他情况基本没有 可以看看Mandelbrot set

[huancai77]

4 小时前，Tokur说道:

好喔w 答案基本是对的，除了懒没解pq外233（x）p,q解出来是(3±\sqrt{5})/2，不过说起来咱想问问，ch(x_{n+1})=ch(2x_n)可以直接取x_{n+1}=2*x_n呢x 如果取x_{n+1}=-2*x_n似乎也是可以的 除了使用面向答案证明的数学归纳法，似乎无论是使用三角换元用复数表示还是双曲换元，都躲不开这个问题 @huancai77

是的w 不过有些情况是可以得出类常数列的结果w

这是因为把sin 和 sinh分开本来就是一种委曲求全的作法 如果我们在复数域上看就有一种统一的思路

复数域上 sinz=(e^iz-e^-iz)/2i  cosz=(e^iz+e^-iz)/2

明显有z属于R时和原来的三角函数一样 z=-iR时有cosh(R)=cos(-iR) sinh(R)=isin(-iR)    (也就是说ch和原来的cos均是复的cos的一个截面)

此时，和ch的偶函数性质不同 只有cos(z)=cos(z+2kpi)的周期性，该周期性实际上是由e^z带来的（实际上那个负号就隐藏在周期性中）

那么，我们实际上可以令一种新的“数”z_0={所有z_0+2kpi}（这形成了一种等价关系），那实质上就把复数域用2pi长的带子割开了（这实际上是一个求取商集的过程）

那我们就可以做对应：域C 对应 新数 对应 代表元（0<=Im<2pi),这最后解释了为啥我们可以直接取0<=Im<2pi这样一个定义域（cos的一支）在实的就对应是取了0到正无穷那一段