娱乐 [数学算法挑战]趁有空，悄咪咪出个数列相关的数学问题

[makuwa]

这个其实看形式就很容易想到，令an=x+1/x,那么an^2就=(x+1/x)^2=x^2+1/x^2+2。而an+1=an^2-2就恰好=x^2+1/x^2。所以{an}就是可以写成x^2+1/x^2的形式的东西。

那么当a1=a时，x+1/x = a

即x^2-a*x+1 = 0，用求根公式就能求出x^2是多少，再开个跟就是x。

同样当类似的形式，当an+1=an^2-2b，a1=a时，这个公式就是x^2-a*x+b = 0

所以题目中的三问的答案分别是：

(1).  {an} = ((1+sqrt(-3))/2)^(2^(n-1))+((1-sqrt(-3))/2)^(2^(n-1))由于2^n肯定不能整除3，所以当n>=2时这里的x和1/x的幅角肯定是3n+1或3n+2，再加上x的模长为1，所以这两个共轭负数的和必为-1，所以{an}={1, -1, -1...} 

(2).{an} = (1^(2^(n-1))+(1^(2^(n-1))=2

(3).{an} = ((3+sqrt(5))/2)^^(2^(n-1))+((3-sqrt(5))/2)^(2^(n-1))

 

同理，如果题目给的是an+1=an^2-1，那么就设an=sqrt(1/2)*x^(2^(n-1))+sqrt(1/2)/x^(2^(n-1))

如果题目给的是an+1=an^2-200，那么就设an=10*x^(2^(n-1))+10/x^(2^(n-1))

用这个方式也可以算：a1=114514，an+1=an^2-1919810时的通向公式，有想法的话也可以用计算器验证哦~

 

 

以下是修改增添内容（再给你们扩展一下这道题）：

顺道一提，如果数列递推公式的形式是an+1=k*an^2+k*b的话,那么可以简单地把这个系数a给提取出来，通向公式就是：an=k^n*(x^(2^(n-1))+(-b/2x)^((2)^(n-1))，其中x为x^2-a1*x+b = 0的解。

例：an+1=3*an^2+8=3*an^2+3*8/3, a1=4，求{an}

解：令an=x-8/3x，则an+1=3*an^2+8=3*(x^2-(8/3x)^2)

故当a1=4时，

令a1=x-8/3x

x-8/3x=4

x^2-4x-8/3=0

x1x2=-8/3(韦达定理)

∴我们要求的x和8/3x其实就是方程的两根x1和x2

解得x1=2+sqrt(20/3)

        x2=2-sqrt(20/3)

所以an=3^n*((2+sqrt(20/3))^(2^n-1)-(2-sqrt(20/3))^(2^(n-1)))

九月 14, 2022，由makuwa修改