kq586 发布于九月 14, 2022 分享 发布于九月 14, 2022 (已修改) 考虑过于复杂了 首先两点之间直线最短排除走圆弧的路线 第一问： 两条直道都是一样的距离，存在差距的只有1号线走的红色和2号线走的蓝色+黄色，组成三角形就看得很明白了 第二问： 做两条切线找到出发点和终点到圆弧的最短距离，其他的直线路径都只会和这条路拼成三角形 走圆弧短还是走直线短就得去比较tan（圆心角/2）和（圆心角/2）/180° * π 了 九月 14, 2022，由kq586修改 注释 骚男 20.00节操 膜www 链接到点评
kq586 发布于九月 14, 2022 分享 发布于九月 14, 2022 3 小时前，makuwa说道: 关于第一问主要是考虑到还有红线可能会被靠内侧的半圆弧遮挡的情况所以必须考虑曲线路径。 而第二问我们的结论差不多，我主要的篇幅是在证明为什么所有路线要么和蓝色且线段相交要么和红色切线段相交，也就是你说的“其他的直线路径都只会和这条路拼成三角形”然后我觉得走圆弧短还是折线段短这应该是一个可以无穷迭代的微分的问题，你说的比较tan和弧长只是两切线交点和切点的折线段和圆弧长度的关系，并不能排除在这区域内的任意一种路径。我觉得这里要排除所有路径还是任意两点间是否存在可达直线相连较好 红线被挡但是2号的黄线不会，2号能走的所有路线最后都能从1号里头找到一条直线组成三角形。只是比较两条路线长短这样就够了。 第二问设起点为A，两条切线交点为B，区域内任取一点为X 两条切线可以把X能选择的位置分为四个区域 ①③④区域都会让路径与内圈的圆相交 ②区域无论哪一点都会有AX+XB>AB 信我，真没那么复杂要无穷迭代 链接到点评
kq586 发布于九月 17, 2022 分享 发布于九月 17, 2022 22 小时前，makuwa说道: 红线被遮挡而黄线不会那么红黄蓝三线就不能组成像上面一样的三角形了。不理解你说的“2号能走的所有路线最后都能从1号里头找到一条直线组成三角形”的证明过程。 第二问的关键并不在于图中的1234个区域，而重点在于 这张图画的切线交点和切线与圆的切点围城的黄色区域，在这区域内要证明任意一条从蓝线切点到红线切点的路径长度都大于这段圆弧的长度。而无穷迭代指得就是当路径上的点并不贴合弧线的时候在偏离弧线的部分找弧上一点做切线一定会交路径于2点，而这段新切线加上那两点沿原路径到起点/终点的距离一定小于原路径的总长度。而因为切线也同样无法贴合圆弧，所以还需要反复在圆弧上找切点作切线，就是我说的无穷迭代。直到最后逼近圆弧。 唔，那我说详细严谨一些 过终点家做到圆内弧的两条切线红和黄，做平行与底边路的直线蓝线，过黄线切点做垂直于底边路的直线绿线 2号线距离一定大于蓝+绿+黄，绿线是有可能在圆弧内部的 三角形两边和大于第三边 有 红<蓝+黄 红+绿 < 蓝+黄+绿 这样就清楚了吧 第二问是我的问题，没看完你的证明，我以为你只是证切线外路径来着 你得出圆弧最短的结论是错的 你证明默认了一个前提条件，圆外一点到圆两切线的长度大于圆弧的长度 两切线长之和是 2*r*tan（圆心角/2） 圆弧长度是（圆心角/180°）*r*π 切出来的圆心角足够小走切线会比圆弧短 对于这个问题要么量角器直接得出结果 要么就两个区间解 链接到点评
kq586 发布于九月 18, 2022 分享 发布于九月 18, 2022 (已修改) 11 小时前，makuwa说道: 我指得是像这样，当家到半圆切线与半圆的底所在的直线（蓝线）在U型弯内无交点的时候1号线中就不存在你所说的代替黄线+蓝线的红线，一号线一样必须要走折线。 而第二问可以肯定两切线长之和大于圆弧长度，证明如下（采用弧度制）： 对tanθ求导即tanθ'=sec²θ>1 又θ=0时r*tanθ=r*θ=0 θ∈(0,π/2)时(r*tanθ)'=r*sec²θ > r,(r*θ)' = r 即在(0,π/2)r*tanθ的增量始终大于r*θ ∴θ∈(0,π/2)时r*tanθ>r*θ 这就是完全不用量的，或者直接从几何上看： 如图在一个单位圆上做一条与x轴夹角为θ的射线(绿虚线)，此时扇形面积（蓝色区域）=r²*θ/2（θ/2π个圆形的面积） x轴、射线y=x*tanθ、直线x=1围成的三角形区域的面积（蓝色区域+黄色区域） = 1(三角形在x轴上的直角边的长度)*tanθ（三角形的另一条直角边长度）*1/2 显然只要θ∈(0,π/2)三角形面积就大于扇形面积。 对你所说的 “两切线长之和是 2*r*tan（圆心角/2） 圆弧长度是（圆心角/180°）*r*π ” 换成弧度制其实就是比较2*r*tanθ和(2θ)*r的问题，就是上面说的比较tanθ和θ的问题。 第二问是我想岔了 转成弧度制f(X)=x和f(X)=tanx是过原点相切的 确实圆弧的长度小于切线和 所以在切线与圆弧包围成的区间内任取一点，都能找到一段长度比它短的圆弧替换 九月 18, 2022，由kq586修改 链接到点评
kq586 发布于九月 18, 2022 分享 发布于九月 18, 2022 (已修改) 1 分钟前，kq586说道: 第二问是我想岔了 转成弧度制f(X)=x和f(X)=tanx是过原点相切的 确实圆弧的长度小于切线和 所以在切线与圆弧包围成的区间内任取一点，都能找到一段长度比它短的圆弧替换 第一问补个补充情况吧，这样更容易看 九月 18, 2022，由kq586修改 链接到点评
kq586 发布于九月 18, 2022 分享 发布于九月 18, 2022 (已修改) 35 分钟前，makuwa说道: 可能我上面话的不够标准，如果是这样呢？ 这特殊情况红蓝平行了做不出三角形，可是X方向上的和Y方向上的直接对过去不是更一目了然了…… 顺便一提终点的位置再模糊下去你自己的推论也要站不住脚了，那时这个问题得重头讨论 九月 18, 2022，由kq586修改 链接到点评
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