娱乐 一个正方形内如何让某种折射方式的斜线段平均最长

[Haj]

我们如果建一个系，然后把这题看成是由x轴，y=1-x,y=1+x约束的情况下，按初始点在每个(n/2^m , (n+1)/2^m)区间上讨论。

我们容易发现在点(2^(-i+1), 0)左右分别会使下一次折射点在x轴左或右，此时若该次出射点横坐标为m（m>0），则竖线长度（对应图中红线）分别为2-2m和2m，可以记作过程f和过程g

这玩意就变成动态规划问题了，通项我不会写，有个特例就是初始横坐标在（1-2^(-i), 1)上时，平均长度是(2^(i+1)-1)(1-x)/(i+1), i >= 0

当然状态和转移方程都搞定了，就请下面的算法大佬来做这dp题喽

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在非1/6和1/2^n处都会有∞个红线；感知一下的话会有一种Σl=1的感觉

三月 3, 2023，由Haj修改

[Haj]

8 小时前，makuwa说道:

没太看懂这一句

前面那个约束也没看懂，y=1+x的约束是怎么来的用来干什么的？把正方形翻转对称一下吗？但是这里对称后用射线的结论应该不等效于原问题，对称之后要等效于原问题还得是横平竖直的。要想当成射线看得在射到直角边的时候将交点当做另一相同正方形斜边的交点才行，不过这么做我也没看出啥巧妙的规律来。

而dp这个就更奇怪了，这道题里对于某一出发点只有一个结果而没有可以交给我们的选择，这里没有2-2m和2m给你选，只有不同的初始m会对应不同的选择方向。如果从结果逆推首先得定义最终结果，其次从结果逆推的时候dp出来的应该不是最优解。

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关于无穷次反射时的期望。假设证明直角边上每一个点的机会是均等的，而这个可以看做是马尔可夫过程，用状态转移方程可以看出每一个点的下一个状态的映射和原先的概率密度函数一样，而假设自洽的条件是假设这个马尔科夫过程能形成一定周期，并且周期中的不同相位某一点机会的平均值与假设相符。同过这一点我们可以看出这个假设起码自洽，至于是否存在其它自洽的假设我不确定，暂时没有想到。如果这个假设是对的的话那期望的斜边平均长度就应该是1/4AC，如果把正方形边长看做是1那就应该是根号2/4，不清楚你说的Σl=1是什么意思。

我其实是偷懒把正方形旋转45度以正方形中心建系然后设对角线长度为2罢了，然后一个个算线长，这里的dp正好是发现两次连续落到同一象限的分类标准，就可以按初始值分类讨论计算下一条直线的长度，不过这个蠢办法大概只能求个近似解吧

右边像茎叶图一样的是按区间分类的总长，不过通项是真写不出来啊

时间序列什么的不会，我学的数学太朴素啦ww

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南开数学系的同学讲，可以用二进制小数来寻找红线交点在AC上稠密的条件；二进制小数本身也蕴涵了图的生成过程

 

三月 3, 2023，由Haj修改

[Haj]

1 分钟前，makuwa说道:

但还是没看出你这里是打算如何dp的，x并非一个具体的值，比如你图里x∈(1/4,1/2)的时候8x-2与4x-8并没有绝对的大小关系，

首先，那是是4-8x，，其次，二进制小数小数点后第i位能决定图在生成第i+1条红线时是否落到对侧，而给定起始点的二进制值是确定的（无限但是可表示），不过这样迭代还是蠢办法罢了；

然后咱也没打算用二进制有限小数，因为有限小数那玩意就是会糊到B点的；

至于证明稠密性以后拿面积除底边我也觉得不行啊，因为稠密它不等于连续咱不学数分的也知道，我同学确实也在准备开学考，大概有点糊涂（我明天早八也考试hh）

不过俺寻思有理数能表示成无限循环或有限的二进制小数，这样每个循环后交点坐标应该趋近某个特定模式的；但无理数取值怎么办？

[Haj]

7 分钟前，makuwa说道:

连续也不能拿面积除，就是个落点概率不一样的问题，一块区域的权重不一样。我举的那个sinx的例子就是，不能因为它的值域是0~1上的连续区间就认为它在x在(0,π)区间上随机取值时平均值为1/2。

哦，咱理解不一样，您想着的是离散数学，我想着是积分后除π得到平均值2/π这个连续问题；不过这题显然无法不是连续数学研究的范围

16 分钟前，makuwa说道:

只要不是有限二进制小数和我上面说的1/3相关的那几个点，最后坐标都不会趋近于某个特定值，最多在多个特定值之间往复波动。

我也是觉得有可能在特定值附近振荡才提了一嘴

26 分钟前，makuwa说道:

我问的是期望最高的取法，是否能取到平均>1/3AC的初始点，以及是否有方法证明这种取法是最优的。

现在的问题是，每个给定的初始值都有明确的对应值，只是找不到这个单值函数的解析式，所以我还是希望复变函数能解决这个问题… …