静雄酱 发布于十一月 17, 2014 分享 发布于十一月 17, 2014 今天看到了有人在讨论0.999...=1的证明方法， 想起来高中时候曾经用1/3=0.333来证明1=0.999，被我们老师狠狠地点艹了。 在网上找了一个解法，感觉很有意思。看完发现自己极限什么的都忘记了ww。 (还有一种区间套的解法我就不帖了w） [align=left]设两个非空有理数集合 A 和 B 满足：A∪B 为全体有理数，且对任意 a∈A 和 b∈B，都有 a [align=left]这一定义包含两层意思：[/align][align=left] [/align][align=left]1. 对任何一个有理数 a，它要么在 A 中, 要么在 B 中，但不会同时在 A 和 B 中；[/align][align=left]2. A 中的每个有理数都小于 B 中的任何一个有理数。[/align][align=left]所以，在逻辑上，有理数集的分割 A/B 可能是下列四种情况之一： [/align][align=left]1. A 有最大数，B 没有最小数；[/align][align=left]2. A 没有最大数，B 有最小数；[/align][align=left]3. A 没有最大数，B 也没有最小数；[/align][align=left]4. A 有最大数，B 也有最小数。[/align][align=left]但实际上，第 4 种情况不可能发生。因为如果 A 有最大数 a，B 有最小数 b，根据分割的定义可知 a http://zhihu.com/equation?tex=a%3C%5Cdfrac%7Ba%2Bb%7D%7B2%7D%3Cb%2C[/img] 因此 (a+b)/2 既不在 A 中, 也不在 B 中，这就与 A∪B 是全体有理数矛盾。 这样，有理数集的分割 A/B 就归结为下列三种情况： [/align][align=left]1. A 有最大数 a，B 没有最小数。例如： [/align][align=left]2. A 没有最大数，B 有最小数 b。例如： http://zhihu.com/equation?tex=A%3D%5C%7Bx%7Cx%3C1%2Cx%7E%5Ctext%7B%E4%B8%BA%E6%9C%89%E7%90%86%E6%95%B0%7D%5C%7D%2C+B%3D%5C%7Bx%7Cx%5Cgeq+1%2Cx%7E%5Ctext%7B%E4%B8%BA%E6%9C%89%E7%90%86%E6%95%B0%7D%5C%7D[/img][/align][align=left]3. A 没有最大数，B也没有最小数。[/align][align=left]对第 1 种情况，我们称分割 A/B 确定了有理数 a，例如上面给的例子就确定了有理数 0； 对第 2 种情况, 我们称分割 A/B 确定了有理数 b，例如上面给的例子就确定了有理数 1。 而对第 3 种情况，即 A 没有最大数，B 也没有最小数，下面就是一个典型的例子: http://zhihu.com/equation?tex=A%3D%5C%7Bx%7Cx%5Cleq+0%2Cx%7E%5Ctext%7B%E4%B8%BA%E6%9C%89%E7%90%86%E6%95%B0%7D%5C%7D%5Ccup%5C%7Bx%7Cx%3E0%7E%5Cmbox%7B%E4%B8%94%7D%7Ex%5E2%3C2%2Cx%7E%5Ctext%7B%E4%B8%BA%E6%9C%89%E7%90%86%E6%95%B0%7D%5C%7D%2C[/img] http://zhihu.com/equation?tex=B%3D%5C%7Bx%7Cx%3E0%7E%5Cmbox%7B%E4%B8%94%7D%7Ex%5E2%3E2%2Cx%7E%5Ctext%7B%E4%B8%BA%E6%9C%89%E7%90%86%E6%95%B0%7D%5C%7D.[/img] 此时分割 A/B 没有确定任何有理数，即集合 A 和 B 之间存在一个"空隙"，于是我们需要引入一个新的数 (即无理数) 来表示这个"空隙"。在这个例子中，表示这个"空隙"的无理数就是http://zhihu.com/equation?tex=%5Csqrt%7B2%7D[/img]。[/align][align=left] 这样，我们就得到了无理数的严格定义： [/align][align=left]设 A/B 是有理数集的一个分割，如果 A 中没有最大数，B 中没有最小数，则称分割 A/B 确定了一个无理数 c，c 大于 A 中的任何有理数，同时小于 B 中的任何有理数。[/align][align=left] 例如，在刚才的例子中，分割 A/B 所确定的无理数http://zhihu.com/equation?tex=%5Csqrt%7B2%7D[/img]大于 A 中的任何有理数，同时小于 B 中的任何有理数。[/align][align=left] 需要注意的是，符合上述定义的无理数 c 在分割 A/B 给定的前提下一定是唯一的。否则，假设某个有理数集的分割 A/B 确定了两个无理数 c 和 d，不妨设 c http://zhihu.com/equation?tex=0%3C%5Cdfrac%7B1%7D%7Bn%7D%3Cd-c%2C[/img] 则 nd-nc>1。这说明至少有一个整数 m 满足 nc http://zhihu.com/equation?tex=c%3C%5Cdfrac%7Bm%7D%7Bn%7D%3Cd.[/img] 由于 c 大于 A 中的任何有理数，而 d 小于 B 中的任何有理数，所以有理数http://zhihu.com/equation?tex=%5Cdfrac%7Bm%7D%7Bn%7D[/img]既不在 A 中，也不在 B 中，这就与 A∪B 是全体有理数矛盾。[/align][align=left] 从而我们就可以得到实数的严格定义： [/align][align=left]由全体有理数，以及有理数的分割所确定的全体无理数，构成的集合成为实数集。[/align][align=left]跟有理数的分割类似，我们可以定义出实数的分割： [/align][align=left]设两个非空实数集合 A 和 B 满足：A∪B 为全体实数, 且对任意 a∈A 和 b∈B，都有 a [/size][/color]实数集和有理数集的一个本质区别是：实数集是完备的。这可以用下面的 Dedekind 分割定理来表示： [/align][align=left]设 A/B 是实数集的一个分割，则或者 A 有最大数，或者 B 有最小数。[/align][align=left]这个定理说明，实数集的分割不存在有理数集的分割的第 3 种情况，即 A 没有最大数、B 也没有最小数的情况。 换句话说，实数集中没有"空隙"，数轴上的任何一个点都可以用某个实数唯一精确表示。 这样，我们得到了以下结论： [/align][align=left]1. 每个有理数集的分割确定唯一一个实数；[/align][align=left]2. 两个相同的有理数集的分割所确定的实数一定是相同的；[/align][align=left]3. 如果两个实数不相等，那么确定它们的分割一定是不同的。[/align][align=left]在有了上面的准备之后，我们就可以给出“1=0.999...”的严格证明了。 1=0.999...的严格证明： [/align][align=left]设 t=0.999...，作两个有理数集的分割 http://zhihu.com/equation?tex=A%3D%5C%7Bx%7Cx%3Ct%2Cx%7E%5Ctext%7B%E4%B8%BA%E6%9C%89%E7%90%86%E6%95%B0%7D%5C%7D%2C+B%3D%5C%7Bx%7Cx%5Cgeq+t%2Cx%7E%5Ctext%7B%E4%B8%BA%E6%9C%89%E7%90%86%E6%95%B0%7D%5C%7D%2C[/img] http://zhihu.com/equation?tex=C%3D%5C%7Bx%7Cx%3C1%2Cx%7E%5Ctext%7B%E4%B8%BA%E6%9C%89%E7%90%86%E6%95%B0%7D%5C%7D%2C+D%3D%5C%7Bx%7Cx%5Cgeq+1%2Cx%7E%5Ctext%7B%E4%B8%BA%E6%9C%89%E7%90%86%E6%95%B0%7D%5C%7D.[/img] 根据前面的讨论，分割 A/B 确定了实数 t=0.999... （我们暂时不知道 t=0.999...是有理数还是无理数），分割 C/D 确定了有理数 1。 为证明 t=1，我们只需要证明这两个分割是相同的，即证明 A=C。 若有理数 x∈A，则显然有 x<1，于是 x∈C。这说明 http://zhihu.com/equation?tex=A%5Csubseteq+C[/img]。下面只需证明http://zhihu.com/equation?tex=A%5Csupseteq+C[/img]。[/align][align=left] 若有理数 x∈C，则 x<1。不妨设 x>0。根据有理数的定义，我们可以把 x 用分数的形式表示为 http://zhihu.com/equation?tex=x%3D%5Cdfrac%7Bp%7D%7Bq%7D%2C%7E%28p%2Cq%7E%5Cmbox%7B%E4%B8%BA%E6%AD%A3%E6%95%B4%E6%95%B0%7D%29.[/img] 既然0 http://zhihu.com/equation?tex=1-%5Cdfrac%7Bp%7D%7Bq%7D%5Cgeq%5Cdfrac%7B1%7D%7Bq%7D%3E0[/img] 可知存在正整数 n 使得 http://zhihu.com/equation?tex=%5Cdfrac%7B1%7D%7Bq%7D%3E%5Cdfrac%7B1%7D%7B10%5En%7D%3E0.[/img] 于是 http://zhihu.com/equation?tex=x%3D%5Cdfrac%7Bp%7D%7Bq%7D%5Cleq+1-%5Cdfrac%7B1%7D%7Bq%7D%3C1-%5Cdfrac%7B1%7D%7B10%5En%7D%3D0.%5Cunderbrace%7B99%5Cdots9%7D_%7Bn%7E%5Ctext%7B%E4%B8%AA%7D%7E9%7D%3Ct.[/img] 既然 xhttp://zhihu.com/equation?tex=A%5Csupseteq+C[/img]。[/align][align=left] 综上所述，我们就得到了 A=C，从而 A/B 和 C/D 是两个相同的分割，因此 0.999...=t=1。[/align] 链接到点评
静雄酱 发布于十一月 17, 2014 作者 分享 发布于十一月 17, 2014 游戏游戏123 发表于 2014-11-17 15:06 还好我用的是1/9=0.1111... 证明法， {:10_633:} 本质来说，0.999...和0.111...都不能用初等数学的四则运算。而且用的1/9=0.111..也没法证明啊 链接到点评
静雄酱 发布于十一月 17, 2014 作者 分享 发布于十一月 17, 2014 kongjumowang 发表于 2014-11-17 15:46 确实不能直接用加减乘除进行计算，当然。。楼主写的那些我确实没看懂。。 我记得以前学编程，大数字或者小 ... 因为编程有精度和浮点数的关系。。 这个就是证明1和0.9999的戴德金分割是一样的，所以他们相等。 链接到点评
静雄酱 发布于十一月 17, 2014 作者 分享 发布于十一月 17, 2014 iamgute 发表于 2014-11-17 16:54 反证法假设1不等于0.99999.。。。然后1-0.999999.。。等于某个常数。而对任意常数这是不成立的所以。。。这 ... {:10_639:} 很多人没学过数分来着。而且这两个数能做差就说明0.999也是个常数把。 链接到点评
静雄酱 发布于十一月 17, 2014 作者 分享 发布于十一月 17, 2014 iamgute 发表于 2014-11-17 17:07 当然了因为他本来就是1吗。1-0.99999.。。。等于lim1-0.999.....省略号趋向于无穷等于0 ... {:10_633:} 就是说无穷小不是常数？？总觉得各种证明方法，定义总有点问题。。 链接到点评
静雄酱 发布于十一月 17, 2014 作者 分享 发布于十一月 17, 2014 泪淚累 发表于 2014-11-17 17:11 小学时候是这样解决的： 0.99...X10=9.99... 9.99...--0.99...=9 {:7_503:} 小学就讨论这个了么。。不过第一个第二个等式应该都不对哦。 链接到点评
静雄酱 发布于十一月 17, 2014 作者 分享 发布于十一月 17, 2014 泪淚累 发表于 2014-11-17 17:15 毕竟是小学时候做的嘛，当时根本看不出问题来 {:7_500:} 咱高中时候也是这么证明的来着。 链接到点评
推荐贴