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第 一 次 科 技 革 命(事故现场;我TM居然给抢救回来了(雾))


Tokur

推荐贴

前几天...我在数学课上无所事事······

琢磨着捉摸着······

就发现了一个好玩的东西!!:b11:

先说结论:

对于一个函数f(x),若其在区间[a,b]上连续,则...诶诶别说看不懂kora!

水一水回个复再走嘛!!:SS01:

不然不然就我一个人在这整这个···

岂不是很很尴尬的说嘤嘤嘤!!

咳咳~!现在到了结论揭晓的时刻!!!:b2:

对于一个函数f(x).png.eea8f0c05c73cca873902ac146b4f45b.png,若其在区间1000860500_ab.png.bd755df9c2cdc2f3a9466eb953d30bc0.png上连续,则有以下结论:

  1. 若其在区间1000860500_ab.png.bd755df9c2cdc2f3a9466eb953d30bc0.png上单调递增,则有479192825_1.png.21d42dabd97779c1c5b110c7d8eb3f89.png
  2. 若其在区间1000860500_ab.png.bd755df9c2cdc2f3a9466eb953d30bc0.png上单调递减,则有114525480_2.png.a856b823368be80b839a76c755b1e836.png
  3. 仅当297104951_ab.png.022bbb9c7dc40860acc0cbc07e04814d.png时,以上两个不等式都取等(且不需要在1000860500_ab.png.bd755df9c2cdc2f3a9466eb953d30bc0.png上连续,递减或递增等条件)

 

 ※  如果还有疑问、纠错或者纠错字,欢迎在主题后跟帖回复提问纠正ww  ※

 

================下面是应用环节~================

说起来!   这个结论我以为是已经有头秃的数学家证过了:NEKOMIMI_PARADISE_1:

不过我似乎没找到相关名字mmm:b6:

既然如此,因为我是群龙王,所以就叫它龙王不等式吧!!:NEKOMIMI_PARADISE_38:

那么它究竟哪里神奇了呢?请随小编一起来看看吧~(营销号举报了!(bushi))

 

这个东西最好玩的地方就是可以批量制造二元不等式定理!!

【制造过程】

剧透
  1. 首先随便取一个函数,比如说1167857167_f(x)x2.png.6d56f78022ce356172eb4fb86149fea4.png(还可以取好多好多其他函数呢!只要是有连续的单调区间的就可以取!)
  2. 然后然后取1792363818_0ab.png.f1aceb8eefc437a26241944cdc7e05bd.png(这里取两个都大于等于零的原因是这个函数在这个范围内是单调递增的)
  3. 根据龙王不等式就可以得到475244906_x2.png.4770b4cf3690548dc587e5b8e533e624.png
  4. 再进行化简,得到1082248308_x2.png.ca762604224a94565dd61b2e6eccfd6f.png
  5. 这样就得到了一个二元不等式定理!1219004302_x2.png.9b28c2cd1446fcf09583796b48f0943e.png

就这样!一道鲜美可口的不等式就诞生啦!!!:SS08:

===========下面是特殊的应用例子~===========

实际上只要带积分/微分/导数的不等式都可以批量制造不等式

但是龙王不等式最大的优点在于条件炒鸡好满足!!(虽然说还有更容易满足的嘤嘤嘤)

而且有时候稍稍再变形一亿就可以变成一元不等式定理了呢!:b11:

比如说下面两个例子~~~

栗子一~~~求证1287155994_x-1lnx1-x(-1).png.b1894848b7a3c02f156d4007cf6f1cd5.png

【证明过程】

剧透
  1. 1046717555_f(x)x(-1).png.41c81861fa02071bac47bc61c28ff6f4.png,令165111934_0ab.png.2a1b2917ba66bcc13d8310b25389ac9a.png,显然在1000860500_ab.png.bd755df9c2cdc2f3a9466eb953d30bc0.pngf(x).png.eea8f0c05c73cca873902ac146b4f45b.png是连续且单调递减的
  2. 所以有1087234324_x(-1).png.83111e826bca17c47173faa17209694f.png
  3. 403034659_x(-1).png.ca9f38675f55c1e37c6163ac7002711e.png
  4. 做一真的是一点点变形得到403345349_x(-1).png.f97732a3b80c0dce4ddc83b8617daf31.png
  5. 1037048030_xba(-1).png.022aaaa65d661712f2d34d9f6fe003f4.png就可以得到1287155994_x-1lnx1-x(-1).png.b1894848b7a3c02f156d4007cf6f1cd5.png了~~~如图P 1-1
  6. 同时仅当297104951_ab.png.022bbb9c7dc40860acc0cbc07e04814d.png687205405_x1.png.0631155fa3c6947d6d527a07bdada547.png时,该不等式取等号
  7. 因为a.png.960a4daf6c5ee0182930c67af0e4437c.pngb.png.2214da67025a046448769c23cc3008f8.png是在1944580672_0.png.14b5c4a5a91dffc1eb2127d52c0177c4.png上的,所以x.png.ecd0fb8caaf41f0ca0e135a501593670.png的取值范围也是1944580672_0.png.14b5c4a5a91dffc1eb2127d52c0177c4.png(可以理解为a.png.960a4daf6c5ee0182930c67af0e4437c.png取1,b.png.2214da67025a046448769c23cc3008f8.png可以取1944580672_0.png.14b5c4a5a91dffc1eb2127d52c0177c4.png上的任何值哦~)

P1-1.png.3caa7e416ba8cec24f8cc2dd2334d80a.png

 

 

栗子二~~求证1365278700_x1exxex1.png.ee500159543f95fd87c17562860d8f04.png

【证明过程】

剧透
  1. 2050293691_f(x)ex.png.3d708a18559dc7a656220834a684cd60.png,1338747211_ab.png.35bc39fde5e8b3bfc0e7699ae9882d66.png,显然f(x).png.eea8f0c05c73cca873902ac146b4f45b.png2015526827_R.png.001e21fa30c047b21faa26f8d2916e40.png上是连续且单调递增的
  2. 所以有32843208_ex.png.a567fbe9f170a610240640d93343fea6.png
  3. 三边都除以463223867_ea.png.f2fa01ad4e10b40b278123896f62afba.png得到1707777903_ex.png.f5fd5bf9cb23e6aeb09f9fbb66dc0f67.png
  4. 1027810614_xb-a.png.3a8df2fa4a11a45434e7372e6dfef867.png得到1747860972_xex-1xex.png.ca45a36cbe80e76868cbd852b5b94cfc.png
  5. 三边都加一得到1365278700_x1exxex1.png.ee500159543f95fd87c17562860d8f04.png,如图P 1-2
  6. 且仅当297104951_ab.png.022bbb9c7dc40860acc0cbc07e04814d.png1597285493_x0.png.8ddadccc14cee116d2af67ee3e5a2e5a.png时,不等式取等
  7. 同时因为a.png.960a4daf6c5ee0182930c67af0e4437c.pngb.png.2214da67025a046448769c23cc3008f8.png都是在2015526827_R.png.001e21fa30c047b21faa26f8d2916e40.png上的,所以x.png.ecd0fb8caaf41f0ca0e135a501593670.png的取值范围是2015526827_R.png.001e21fa30c047b21faa26f8d2916e40.png

P1-2.png.ce88dd18fd2ee89a6f64a2505daab91e.png

 

===============下面就是证明啦~===============

PS:证明过程有亿点点繁琐的说~不感兴趣的已经可以跳啦~:wn001:

进行分类讨论~

【①当f(x).png.eea8f0c05c73cca873902ac146b4f45b.png1000860500_ab.png.bd755df9c2cdc2f3a9466eb953d30bc0.png上连续,846548035_f(x)0.png.a05a7acfe5c32b1c06c3d43ea5964406.png,且单调递增时】

如图P 2-1

P2-1.png.276afca27adaa02282a784ec70d0287b.png

剧透

1338747211_ab.png.35bc39fde5e8b3bfc0e7699ae9882d66.png,1096747200_A.png.a64938eca9b2032d9386e5ca62095a31.png点为250057899_(af(a)).png.a48dea538e5305bf753c6aa5c0003256.png,1231286490_B.png.15fe73321e1611412ace3c24f38e27bf.png点为402598237_(bf(b)).png.f5957cead0276b8a7f4a587126003e54.png ,则1564406118_f(a)(b-a).png.af995578c0a8a403aa1380588c0742ab.png 就是AC.png.09b1a21128b90a1a6f1151847c3c660c.png 下方与x.png.ecd0fb8caaf41f0ca0e135a501593670.png轴所包围的矩形的面积,1677226488_f(b)(b-a).png.e8c10760ae75d3928bd39a38a2798f5e.png 就是BD.png.317d223975532fac965ca8ad422f00cd.png 下方与x.png.ecd0fb8caaf41f0ca0e135a501593670.png轴所包围的矩形的面积,671073486_f(x)ab.png.cdb2d5345369d2eef16b951714d6f8bb.png 就是图中涂色部分的面积,显然有479192825_1.png.21d42dabd97779c1c5b110c7d8eb3f89.png

f(x).png.eea8f0c05c73cca873902ac146b4f45b.png1000860500_ab.png.bd755df9c2cdc2f3a9466eb953d30bc0.png上连续,846548035_f(x)0.png.a05a7acfe5c32b1c06c3d43ea5964406.png、且单调递减时同理可证

【②当f(x).png.eea8f0c05c73cca873902ac146b4f45b.png1000860500_ab.png.bd755df9c2cdc2f3a9466eb953d30bc0.png上连续,150071554_f(x)0.png.3acf17af691cc4da3dec76947d53acea.png,且单调递增时】

如图P 2-2

P2-2.png.21efcf8495d87beba3ac1fe1544652bf.png

剧透

1338747211_ab.png.35bc39fde5e8b3bfc0e7699ae9882d66.png,1096747200_A.png.a64938eca9b2032d9386e5ca62095a31.png点为250057899_(af(a)).png.a48dea538e5305bf753c6aa5c0003256.png,1231286490_B.png.15fe73321e1611412ace3c24f38e27bf.png点为402598237_(bf(b)).png.f5957cead0276b8a7f4a587126003e54.png ,则1564406118_f(a)(b-a).png.af995578c0a8a403aa1380588c0742ab.png 就是AC.png.09b1a21128b90a1a6f1151847c3c660c.png上方与轴x.png.ecd0fb8caaf41f0ca0e135a501593670.png所包围的矩形的面积的相反数,1677226488_f(b)(b-a).png.e8c10760ae75d3928bd39a38a2798f5e.png 就是BD.png.317d223975532fac965ca8ad422f00cd.png上方与x.png.ecd0fb8caaf41f0ca0e135a501593670.png轴所包围的矩形的面积的相反数,671073486_f(x)ab.png.cdb2d5345369d2eef16b951714d6f8bb.png就是图中涂色部分的面积的相反数,显然有479192825_1.png.21d42dabd97779c1c5b110c7d8eb3f89.png

f(x).png.eea8f0c05c73cca873902ac146b4f45b.png1000860500_ab.png.bd755df9c2cdc2f3a9466eb953d30bc0.png上连续,150071554_f(x)0.png.3acf17af691cc4da3dec76947d53acea.png、且单调递减时同理可证

【③当f(x).png.eea8f0c05c73cca873902ac146b4f45b.png1000860500_ab.png.bd755df9c2cdc2f3a9466eb953d30bc0.png上连续,1755559301_f(a)0.png.5b9fa001c581db0794563feed4d06fed.png,1397792979_f(b)0.png.9e77c5832b6ddc6391b113105a94aa0e.png且单调递增时】如图P 2-3

P2-3.png.aecc554583dd4387c1a79fae1e2f5671.png

剧透

1338747211_ab.png.35bc39fde5e8b3bfc0e7699ae9882d66.png,1096747200_A.png.a64938eca9b2032d9386e5ca62095a31.png点为250057899_(af(a)).png.a48dea538e5305bf753c6aa5c0003256.png,1231286490_B.png.15fe73321e1611412ace3c24f38e27bf.png点为402598237_(bf(b)).png.f5957cead0276b8a7f4a587126003e54.png ,则1564406118_f(a)(b-a).png.af995578c0a8a403aa1380588c0742ab.png 就是AC.png.09b1a21128b90a1a6f1151847c3c660c.png 上方与x.png.ecd0fb8caaf41f0ca0e135a501593670.png轴所包围的矩形的面积的相反数,1677226488_f(b)(b-a).png.e8c10760ae75d3928bd39a38a2798f5e.png就是BD.png.317d223975532fac965ca8ad422f00cd.png下方与x.png.ecd0fb8caaf41f0ca0e135a501593670.png轴所包围的矩形的面积,671073486_f(x)ab.png.cdb2d5345369d2eef16b951714d6f8bb.png 就是图中x.png.ecd0fb8caaf41f0ca0e135a501593670.png轴上的涂色部分的面积减去x.png.ecd0fb8caaf41f0ca0e135a501593670.png轴下的涂色部分的面积,显然有479192825_1.png.21d42dabd97779c1c5b110c7d8eb3f89.png

 f(x).png.eea8f0c05c73cca873902ac146b4f45b.png1000860500_ab.png.bd755df9c2cdc2f3a9466eb953d30bc0.png上连续,1535372912_f(a)0.png.3c67b14360e7645b91cbc62fa88a5073.png,1024449546_f(b)0.png.91bf4782ead3f000d4efb630250d1397.png,且单调递增时同理可证

 

==================收尾啦~~~===============

其实龙王不等式还能进行条件弱化头部脱发,弱化后是下面这个样子

对于函数f(x).png.eea8f0c05c73cca873902ac146b4f45b.png,若其在区间1000860500_ab.png.bd755df9c2cdc2f3a9466eb953d30bc0.png上连续且有极大值f(m).png.dd1051d694cb5ae95487d9c3b5e653c6.png和极小值f(n).png.8e174b58515bde8523669d9ab0272776.png,

则有1016287363_.png.fe385e9702d20e508dbef2460d5f7c32.png

这个命题我也不知道是不是对的,我也不知道怎么证明其实是懒:b6:

就暂且叫他”强龙王不等式猜想”吧!(雾)有兴趣的可以尝试证一下~~

,由Tokur233修改
注释
世界atlast 世界atlast 20.00节操 倒霉孩子
链接到点评
1 小时前, 世界atlast 说道:

:mx051:等等,我才发现你阅读权限设置的是管理员可见啊,这鬼才有人回复,人家点都点不开你这贴

不对呀mmm为什么我去修改的时候发现设置的是无限制呀???:b6:话说阅读权限设置的是管理员是管理员才能看到还是说人人都能看到但是点进去没有权限阅读??

,由Tokur233修改
链接到点评
  • Tokur将标题更改为第 一 次 科 技 革 命(事故现场;我TM居然给抢救回来了(雾))
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