aoisaki_ichika 发布于二月 23, 2022 分享 发布于二月 23, 2022 (已修改) 先做一下第一题后面有时间再写 设要上n个台阶有F(n)种方法，容易得到F(0) = 1，F(1) = 1，F(2) = 2 这F(n) 种方法可以分成三类，每种方法有两个步骤： 方法1：先走n-1步，再走1步，共F(n-1)种方法 方法2：先走n-2步，再走2步，共F(n-2)种方法 方法3：先走n-3步，再走3步，共F(n-3)种方法 得到3阶常系数线性齐次递推方程： F(n)- F(n-1) - F(n-2) - F(n-3) = 0 照理说可以通过构造特征方程 x^3 - x^2 - x - 1 = 0用特征根求通解，但是一元三次方程解起来太麻烦了…… 这里用求F(10)就直接通过递推方程写出这个数列: 从F(1)开始有： 1，2，4，7，13，24，44，81，149，274，…… 共274种 二月 23, 2022，由aoisaki_ichika修改 注释 Eternalcycle 60.00节操 带动讨论 1 链接到点评
aoisaki_ichika 发布于二月 23, 2022 分享 发布于二月 23, 2022 (已修改) 1 小时前, qwer56 说道: 第一问正确呢，274。终于看到想要的答案了。 第二问也是一样的方法，设第n层的概率为p(n)，有p(0) = 1，p(1) = 1/3，p(2) = 4/9 然后就有p(n) - p(n-1)/3 - p(n-2)/3 - p(n-3)/3 = 0 从p(1)开始就有 1/3，4/9，16/27，37/81，121/243，…… 答案是121/243 1 小时前, qwer56 说道: 话说还有列方程，是大佬，我理解不了。也没学过。 嘛……离散数学里的一点知识吧， 斐波那契数列这样的数列的通项公式就是这么来的 像这种 a_0*F(n)+a_1*F(n-1)+……+a_k*F(n-k) = 0 的递推方程 可以构造特征方程 a_0*x^k + a_1*x^(k-1) + …… + a_k = 0 求出这个方程的根（这个根叫做递推方程的特征根，可以是复数根） q_1 , q_2 , q_3 , …… ，q_k (如果没有重根的话） 则这个递推方程的通解就是 f(n) = C_1*q_1^n + …… + C_2*q_2^n+ …… +C_k*q_k^n 这个证明可以自己尝试一下，不是很难 然后代入k个初始条件就可以求得系数C_1,C_2,……C_k的值从而求出特解 如果出现重根的话对特征根的处理比较特殊，这里就不展开说了 ------------------------------------------------------------------------- 第三问没理解错的话应该是选择每一上楼的方案的概率都是相等的，而不是每一步走的每一种台阶数的概率是相等的 这样的话就有 安全上二楼的概率 = （所有方案的个数-需要经过第五层台阶的方案的个数）/所有方案的个数 如果第5层层没有设机关 则粉毛走到第5层台阶后还要再走5层才能到第10层 所以需要经过第五层台阶的方案的个数 = F(5)*F(5) 安全上二楼的概率 = (F(10) - F(5)*F(5))/F(10) = (274-13*13)/274 = 105/274<121/243 比蓝毛要危险一点呢 二月 23, 2022，由aoisaki_ichika修改 注释 Eternalcycle 60.00节操 带动讨论 链接到点评
aoisaki_ichika 发布于二月 23, 2022 分享 发布于二月 23, 2022 (已修改) 2 小时前, GMRK 说道: 当然是相等的啊，，， 不相等，粉毛选择每一上楼的方案的概率都是相等的，而蓝毛是每一步走的每一种台阶数的概率是等价的 这两种模型计算结果不一样是因为每一种方案的步数可能是不一样的，导致蓝毛选择每一种上楼方案的可能性不同 按照蓝毛的情况， 爬到第5个台阶， 她可能选择“先走3步，再走2步”这个方案 概率是1/3*1/3 = 1/9 也可能选择“先走3步，再走1步，最后走1步”这个方案 概率是1/3*1/3*1/3 = 1/27 而对于粉毛来说选择这两种方案的概率是一样的 二月 23, 2022，由aoisaki_ichika修改 注释 GMRK -1.00节操 ？我都修正了还硬要引用一下有猫病？ 链接到点评
aoisaki_ichika 发布于二月 23, 2022 分享 发布于二月 23, 2022 9 小时前, t5rt 说道: 2:蓝毛上楼不可能随机（平均分布），比如位于第9个时只能上一个台阶 你说的没错，不过这是走到8，9两层台阶后再选择一步走几层的情况 走到8层之前每一步走的每一种层数的可能性都是一样的 链接到点评
aoisaki_ichika 发布于二月 23, 2022 分享 发布于二月 23, 2022 (已修改) 2 小时前, qwer56 说道: 我完全没有想到走到第n层楼梯的概率它也是一个数列 这里讲一下我的思路吧 虽然你问的是”第10层“，”第5层“这样的特定的层数， 但是乍一看这几个层数本身好像没什么特别之处，也就是说解决这个问题的核心很可能和具体是哪一层关系不大 特性不好用就用共性嘛 于是就想到”第n层“，”第n-1层“，……这样更加一般的情况，这样就想到数列了 描述一个数列常用的就两个东西：通项公式和递推公式 直接求通项公式看起来不太容易…… 但是这里很容易注意到”第n层“的情况会与前面若干层是有联系的，而且很好数学关系很好找 抽象成数学语言就是第n项与它之前若干项有所联系，数学上用来描述这一性质的就是递推公式 前两到题最终都是利用递推方程从初始条件出发计算得到结果的 但是在"得到递推方程“这一步我都利用了递归的思想 简单说就是把要解决的大问题先分解成若干小问题， 如果发现要解决这些小问题或者其中的一部分时所用的方法和解决大问题的方法类似（自相似） 往往利用这个自相似就能得出数学关系。 类似的可以看一下汉诺塔问题 才疏学浅，见笑了 二月 23, 2022，由aoisaki_ichika修改 aoisaki_ichika在新手区仔细阅读版规时，意外收到来自小小坛娘奖励的5节操。 链接到点评
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