娱乐 数学挑战：走楼梯与概率

[qwer56]

大家每天都在上楼梯吧～

先来一个基础问题：魔法少女蓝毛要上楼梯到二楼，要上10个台阶，她最多可以一步上3个台阶，最少也要上1个台阶，魔法少女不会往后下台阶，请问有多少种上二楼的方法呢？

A作为一名邪恶干部，给第5层楼梯设下了机关，蓝毛每次上几层台阶都是随机的（就是任性！），那么请问蓝毛不踩上第5层阶梯的概率是多少？（踩上第5层，魔法少女就要落入不可名状的陷阱之中）

如果身边没有电脑，你能笔算出来吗？没有过程可没有步骤分了。

接下来是脑补的小故事：蓝毛被抓后，魔法少女总部设法营救，魔法少女粉毛带着全自动分析仪器来到楼梯前，分析仪器分析了阶梯的层数，自动计算了上二楼的方法有多少种，随机挑了一种方法给粉毛，粉毛很听话，按照仪器指示上阶梯。请问粉毛中陷阱的概率和蓝毛一样吗？如果不一样，那谁中陷阱概率高？（还是加上严谨一些：粉毛最多可以一步上3个台阶，最少也要上1个台阶，魔法少女不会往后下台阶，分析机器知道并以此计算。）

[qwer56]

2 小时前, 黔驴技穷 说道:

穷举法算出了235种

穷举法太有毅力了…

[qwer56]

8 小时前, t5rt 说道:

我已经知道红毛和蓝毛是谁了

1:0C10+1C8+2C6+3C4

2:蓝毛上楼不可能随机（平均分布），比如位于第9个时只能上一个台阶

3：红毛(0C5+1C3)种方法上5阶，5阶后同样种方法再上5阶，则概率为(0C5+1C3)^2/(0C10+1C8+2C6+3C4)

所以你的第一个答案是1+8+15+4=28吗？

[qwer56]

3 分钟前, aoisaki_ichika 说道:

先做一下第一题后面有时间再写

设要上n个台阶有F(n)种方法，容易得到F(0) = 1，F(1) = 1，F(2) = 2 

这F(n) 种方法可以分成三类，每种方法有两个步骤：

方法1：先走n-1步，再走1步，共F(n-1)种方法

方法2：先走n-2步，再走2步，共F(n-2)种方法

方法3：先走n-3步，再走3步，共F(n-3)种方法

得到3阶常系数线性齐次递推方程：

F(n)- F(n-1) - F(n-2) - F(n-3) = 0

照理说可以通过构造特征方程 x^3 - x^2 - x - 1 = 0用特征根求通解，但是一元三次方程解起来太麻烦了……

这里用求F(0)就直接通过递推方程写出这个数列:

从F(1)开始有：

1，2，4，7，13，24，44，81，149，274，……

共274种

 

 

第一问正确呢，274。终于看到想要的答案了。

话说还有列方程，是大佬，我理解不了。也没学过。

2 小时前, 黔驴技穷 说道:

穷举法算出了235种

可惜了～穷举法最后还是落败，少数了几种呢，在计算量不大的情况下，穷举不失一种好方法。

4 小时前, fangaa 说道:

f_0=1
f_1=1
f_2=2
f_{k+3}=f_{k+2}+f_{k+1}+f_k
f_{10}=148

p_0=1
p_1=1/3
p_2=4/9
p_{k+3}=1/3*(p_{k+2}+p_{k+1}+p_k)
p_5=121/243

 

你的第一问答案是148吧，思路正确，可惜最后答案错误了，是不是计算有误呢？

[qwer56]

9 小时前, aoisaki_ichika 说道:

安全上二楼的概率 = (F(10) - F(5)*F(5))/F(10) = (274-13*13)/274 = 105/274<121/243

比蓝毛要危险一点呢

正解，我完全没有想到走到第n层楼梯的概率它也是一个数列。即37/81=（1/3+4/9+16/27）/3

9 小时前, aoisaki_ichika 说道:

第二问也是一样的方法，设第n层的概率为p(n)，有p(0) = 1，p(1) = 1/3，p(2) = 4/9

然后就有p(n) - p(n-1)/3 - p(n-2)/3 - p(n-3)/3 = 0

从p(1)开始就有

1/3，4/9，16/27，37/81，121/243，……

答案是121/243

我的暴力计算：

蓝毛踩上5级概率：

5层楼梯1+1+1+1+1：1/243

2+1+1+1、1+2+1+1、…：4/81

3+1+1、1+3+1、1+1+3：3/27

2+3、3+2：2/9

1/243+4/81+3/27+2/9=121/243

9 小时前, aoisaki_ichika 说道:

你说的没错，不过这是走到8，9两层台阶后再选择一步走几层的情况

走到8层之前每一步走的每一种层数的可能性都是一样的

关于踩上第九级台阶的概率？根据蓝毛的行动模式有两种答案：

第一：蓝毛假如踩上第八级台阶时，没有注意脚下有还剩多少级台阶，也就是说她可以去踩那虚空的第11级台阶（踩到离第10级台阶还稍微远一点的地方），那么她就还是1/3概率踩9级台阶，1/3概率上刚刚好上10级台阶，和1/3概率大跨一脚，踩到10级台阶同一平面稍远一点的距离。p(9)=p(6)/3+p(7)/3+p(8)/3。

第二：蓝毛注意到了只剩两级台阶了：于是踩上9级台阶概率是1/2，10级台阶是1/2。p(9)=p(6)/3+p(7)/3+p(8)/2