工作 每 日 数 学 挑 战 【第四期（並不）】

[NierPod042]

算一個逆矩陣。大家想想不同的解題方案吧!

(注:這是我從舊卷子上找來的，所以限時應該在15分鐘左右。)

[yhz012]

上三角矩阵的逆我记得有快速公式吧？

而且这个矩阵，用初等行变换做就可以？

令该矩阵=A

考虑矩阵A和单位矩阵I

用初等行变换把A变为I的话，需要第二行*-1加到第一行，第三行*-1加到第二行……

同样方法应用到I上

所以解是

1 -1 0 0

0 1 -1 0

0 0 1 -1

这样的主对角线1，主对角线往右一个是-1，剩余全0

五月 2, 2020，由yhz012修改

[NierPod042]

24 分钟前, yhz012 说道:

上三角矩阵的逆我记得有快速公式吧？

而且这个矩阵，用初等行变换做就可以？

令该矩阵=A

考虑矩阵A和单位矩阵I

用初等行变换把A变为I的话，需要第二行*-1加到第一行，第三行*-1加到第二行……

同样方法应用到I上

所以解是

1 -1 0 0

0 1 -1 0

0 0 1 -1

这样的主对角线1，主对角线往右一个是-1，剩余全0

好強! 比用cofactor 餘子式的方案快多了!

[yhz012]

9 分钟前, NierPod042 说道:

好強! 比用cofactor 餘子式的方案快多了!

余子式我是觉得要快速解还要找规律吧，而且余子式会破坏掉本身上三角的漂亮感（x，所以我本能的在抗拒

不如说更通用的情况我也能不用余子式的方式我也不想用

 

其实看到这个答案之后还有一个递推的方法

首先1的逆矩阵是1

然后考虑[[1 1] [0 1]]的矩阵，令A为1，B为1，C为0，D为1，得到逆矩阵是[A^-1, -A^-1 B D^-1] [0, D^-1]，其中A^-1上一次iteration已经有了是1，D是常数1所以逆恒为1，B是全1向量所以和A^-1右乘是对A^-1的行求和。

于是得到逆是[1 -1][0 1]

继续下一次iteration，A为[1 1][0 1]矩阵，B为[1 1]^T向量，C为[0 0]向量，D为1。

所以左上角是上一步的逆，右上角是上一步逆的行求和后加个负号[0, -1]，左下角是0，右下角是1。得到[1 -1 0][0 1 -1][0 0 1]

于是规律出来了

五月 2, 2020，由yhz012修改

[NierPod042]

59 分钟前, yhz012 说道:

余子式我是觉得要快速解还要找规律吧，而且余子式会破坏掉本身上三角的漂亮感（x，所以我本能的在抗拒

不如说更通用的情况我也能不用余子式的方式我也不想用

 

其实看到这个答案之后还有一个递推的方法

首先1的逆矩阵是1

然后考虑[[1 1] [0 1]]的矩阵，令A为1，B为1，C为0，D为1，得到逆矩阵是[A^-1, -A^-1 B D^-1] [0, D^-1]，其中A^-1上一次iteration已经有了是1，D是常数1所以逆恒为1，B是全1向量所以和A^-1右乘是对A^-1的行求和。

于是得到逆是[1 -1][0 1]

继续下一次iteration，A为[1 1][0 1]矩阵，B为[1 1]^T向量，C为[0 0]向量，D为1。

所以左上角是上一步的逆，右上角是上一步逆的行求和后加个负号[0, -1]，左下角是0，右下角是1。得到[1 -1 0][0 1 -1][0 0 1]

于是规律出来了

新方法利用了block matrix的分開運算性質呢

[yhz012]

1 分钟前, NierPod042 说道:

新方法利用了block matrix的分開運算性質呢

是的，这样对于如果要扩展matrix的话，运算复杂度远小于重算整个的逆，所以可以在一些特殊情况加速求逆