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0.999....=1 的证明方法

静雄酱

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静雄酱 史莱姆勇者【哪个勇者不是从史莱姆打起】

静雄酱

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今天看到了有人在讨论0.999...=1的证明方法，

想起来高中时候曾经用1/3=0.333来证明1=0.999，被我们老师狠狠地点艹了。

在网上找了一个解法，感觉很有意思。看完发现自己极限什么的都忘记了ww。

(还有一种区间套的解法我就不帖了w）

 

[align=left]
设两个非空有理数集合 A 和 B 满足：A∪B 为全体有理数，且对任意 a∈A 和 b∈B，都有 a

 

[align=left]
这一定义包含两层意思：
[/align][align=left]
[/align][align=left]
1. 对任何一个有理数 a，它要么在 A 中, 要么在 B 中，但不会同时在 A 和 B 中；
[/align][align=left]
2. A 中的每个有理数都小于 B 中的任何一个有理数。
[/align][align=left]
所以，在逻辑上，有理数集的分割
A/B
可能是下列四种情况之一：

 

[/align][align=left]
1. A 有最大数，B 没有最小数；
[/align][align=left]
2. A 没有最大数，B 有最小数；
[/align][align=left]
3. A 没有最大数，B 也没有最小数；
[/align][align=left]
4. A 有最大数，B 也有最小数。
[/align][align=left]
但实际上，第
4
种情况不可能发生。因为如果
A
有最大数
a
，
B
有最小数
b
，根据分割的定义可知
a

102,34
[/img]

因此
(a+b)/2
既不在
A
中
,
也不在
B
中，这就与
A
∪
B
是全体有理数矛盾。

 

这样，有理数集的分割
A/B
就归结为下列三种情况：

 

[/align][align=left]
1. A 有最大数 a，B 没有最小数。例如：

equation?tex=A%3D%5C%7Bx%7Cx%5Cleq+0%2Cx%7E%5Ctext%7B%E4%B8%BA%E6%9C%89%E7%90%86%E6%95%B0%7D%5C%7D%2C+B%3D%5C%7Bx%7Cx%3E0%2Cx%7E%5Ctext%7B%E4%B8%BA%E6%9C%89%E7%90%86%E6%95%B0%7D%5C%7D

[/align][align=left]
2. A 没有最大数，B 有最小数 b。例如：

393,19
[/img]
[/align][align=left]
3. A 没有最大数，B也没有最小数。
[/align][align=left]
对第
1
种情况，我们称分割
A/B
确定了有理数
a
，例如上面给的例子就确定了有理数
0
；

对第
2
种情况
,
我们称分割
A/B
确定了有理数
b
，例如上面给的例子就确定了有理数
1
。

而对第
3
种情况，即
A
没有最大数，
B
也没有最小数，下面就是一个典型的例子
:

446,19
[/img]

270,19
[/img]

此时分割
A/B
没有确定任何有理数，即集合
A
和
B
之间存在一个
"
空隙
"
，于是我们需要引入一个新的数
(
即无理数
)
来表示这个
"
空隙
"
。在这个例子中，表示这个
"
空隙
"
的无理数就是
21,1
[/img]
。
[/align][align=left]

这样，我们就得到了
无理数
的严格定义：

 

[/align][align=left]
设 A/B 是有理数集的一个分割，如果 A 中没有最大数，B 中没有最小数，则称分割 A/B 确定了一个
无理数
c，c 大于 A 中的任何有理数，同时小于 B 中的任何有理数。
[/align][align=left]

例如，在刚才的例子中，分割
A/B
所确定的无理数
21,1
[/img]
大于
A
中的任何有理数，同时小于
B
中的任何有理数。
[/align][align=left]

需要注意的是，
符合上述定义的无理数
c
在分割
A/B
给定的前提下一定是唯一的。
否则，假设某个有理数集的分割
A/B
确定了两个无理数
c
和
d
，不妨设
c

105,35
[/img]

则
nd-nc>1
。这说明至少有一个整数
m
满足
nc

80,30
[/img]

由于
c
大于
A
中的任何有理数，而
d
小于
B
中的任何有理数，所以有理数
15,1
[/img]
既不在
A
中，也不在
B
中，这就与
A
∪
B
是全体有理数矛盾。
[/align][align=left]

从而我们就可以得到
实数
的严格定义：

 

[/align][align=left]
由全体有理数，以及有理数的分割所确定的全体无理数，构成的集合成为
实数
集。
[/align][align=left]
跟有理数的分割类似，我们可以定义出
实数的分割
：

 

[/align][align=left]
设两个非空实数集合 A 和 B 满足：A∪B 为全体实数, 且对任意 a∈A 和 b∈B，都有 a

[/size]
[/color]
实数集和有理数集的一个本质区别是：实数集是完备的。这可以用下面的
Dedekind
分割定理
来表示：

 

[/align][align=left]
设
A/B
是实数集的一个分割，则或者
A
有最大数，或者
B
有最小数。
[/align][align=left]
这个定理说明，实数集的分割不存在有理数集的分割的第
3
种情况，即
A
没有最大数、
B
也没有最小数的情况。

 

换句话说，
实数集中没有
"
空隙
"
，
数轴上的任何一个点都可以用某个实数唯一精确表示。

 

这样，我们得到了以下结论：

 

[/align][align=left]
1.
每个有理数集的分割确定唯一一个实数；
[/align][align=left]
2.
两个相同的有理数集的分割所确定的实数一定是相同的；
[/align][align=left]
3.
如果两个实数不相等，那么确定它们的分割一定是不同的。
[/align][align=left]
在有了上面的准备之后，我们就可以给出
“1=0.999...”
的严格证明了。

 

1=0.999...
的严格证明：

 

[/align][align=left]
设 t=0.999...，作两个有理数集的分割

392,19
[/img]

398,19
[/img]

根据前面的讨论，分割 A/B 确定了实数 t=0.999... （我们暂时不知道 t=0.999...是有理数还是无理数），分割 C/D 确定了有理数 1。

 

为证明 t=1，我们只需要证明这两个分割是相同的，即证明 A=C。

 

若有理数 x∈A，则显然有 x<1，于是 x∈C。这说明
47,1
[/img]
。下面只需证明
47,1
[/img]
。
[/align][align=left]

若有理数 x∈C，则 x<1。不妨设 x>0。根据有理数的定义，我们可以把 x 用分数的形式表示为

167,33
[/img]

既然0

102,38
[/img]

可知存在正整数 n 使得

93,38
[/img]

于是

301,48
[/img]

既然 xhttp://zhihu.com/equation?tex=A%5Csupseteq+C
[/img]
。
[/align][align=left]

综上所述，我们就得到了 A=C，从而 A/B 和 C/D 是两个相同的分割，因此 0.999...=t=1。
[/align]
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红 美铃 村庄勇者【重建村落任重道远】

红 美铃

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在完备的实数系中，循环小数0.999...，也可写成数学、数学或数学，表示一个等于1的实数。也就是说，“0.999...”所表示的数与“1”相同。长期以来，该等式被职业数学家所接受，并在教科书中讲授。

简介

0.999...是一个小数系统中的数，一些最简单的0.999...=1的证明都依赖于这个系统方便的算术性质。大部分的小数算术——加法、减法、乘法、除法，以及大小的比较，操作方法都与整数差不多。与整数一样，任何两个有限小数只要数字不同，那么数值也一定不同。特别地，任何一个形为0.99...4的数，其中只有有限个9，都是严格小于1的。

误解0.999...中的“...”（省略号）的意义，是对0.999...=1的误解的其中一个原因。这里省略号的用法与日常语言和0.99...9中的用法是不同的，0.99...9中的省略号意味着有限的部分被省略掉了。但是，当用来表示一个循环小数的时候，“...”则意味着无限的部分被省略掉了，这只能用极限的数学概念来阐释。这样，“0.999...”所表示的实数，是收敛数列（0.9，0.99，0.999，0.9999，...）的极限。“0.999...”是一个数列的极限，从这方面讲，对于0.999...=1这个等式就很直观了。

与整数和有限小数的情况不一样，一个数也可以用许多种其它的方法来表示。例如，如果使用分数，1⁄3=2⁄6。但是，一个数最多只能用两种无限小数的方法来表示。如果有两种方法，那么一种一定含有无穷多个9，而另外一种则一定从某一位开始就全是零。

0.999...=1有许多证明，它们各有不同的严密性。一个严密的证明可以简单地说明如下。考虑到两个实数是相等的，当且仅当它们的差等于零。大部分人都同意，0.999...与0的差，就算存在也是非常的小（趋近零）。考虑到以上的收敛数列，我们可以证明这个差一定是小于任何一个正数的，也可以证明（详细内容参见阿基米德原理），唯一具有这个性质的实数是零。由于差是零，可知1和0.999...是相等的。用相同的理由，也可以解释为什么 0.333...=1⁄3，0.111...=1⁄9，等等。

证明

推想

0.999...是否为1？若使用减法直式计算（小数点后只列出五位，五位后省略）：

1.00000

— 0.99999

——————

0.00000

结果为0.000...，也就是0.0有限循环。因为小数点后五位之后还会一直填上0，始终无法找到最后一位来填上1。1.(0)-0.(9)=0.(0)，故1=0.(9)。

分数

无限小数是有限小数的一个必要的延伸，其中一个原因是用来表示分数。用长除法，一个像1⁄3的简单整数除法便变成了一个循环小数，0.333...，其中有无穷多个数字3。利用这个小数，很快就能得到一个0.999...=1的证明。用3乘以 0.333...中的每一个3，便得到9，所以3×0.333...等于0.999...。而3×1⁄3等于1，所以0.999...=1。

这个证明的另外一种形式，是用1/9=0.101...乘以8。数学

小数

一个更加早期的形式，是基于以下的方程：数学

由于两个方程都是正确的，因此根据相等关系的传递性质，0.999...一定等于1。类似地，2/2=1，且2/2=0.999...。所以，0.999...一定等于2。

位数操作

另外一种证明更加适用于其它循环小数。当一个小数乘以10时，其数字不变，但小数点向右移了一位。因此10×0.999...等于9.999...，它比原来的数大9。

考虑从9.999...减去0.999...。我们可以一位一位地减；在小数点后的每一位，结果都是9-9，也就是0。两者小数点后的数目均为0.999...故可互消，结果为小数点后为零。最后一个步骤用到了代数。设0.999...=c，则10c−c=9，也就是9c=9。等式两端除以9，便得证：d=1。用一系列方程来表示，就是数学

以上两个证明中的位数操作的正确性，并不需要盲目相信，也无需视为公理；它是从小数和所表示的数之间的基本关系得出的。这个关系，可以用几个等价的方法来表示，已经规定了0.999...和1.000...都表示相同的数。

实数分析

由于0.999...的问题并不影响数学的正式发展，因此我们可以暂缓进行研究，直到证明了实数分析的标准定理为止。其中一个要求，是要刻划所有能表示成小数的实数的特征，由一个可选择的符号、构成整数部分的有限个数字、一个小数点，以及构成小数部分的一系列数字组成。为了讨论0.999...的目的，我们可以把整数部分概括为b0，并可以忽略负号，这样小数展开式就具有如下的形式：数学

小数部分与整数部分不一样，整数部分只能有有限个数字，而小数部分则可以有无穷多个数字。这一点是至关重要的。这是一个进位制，所以400中的4是50中的4的十倍，而0.05中的5则是0.5中的5的十分之一。

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iamgute 踏上征途【也许该考虑来点更大的贡献了】

iamgute

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发布于 · 只看该作者
静雄酱 发表于 2014-11-17 17:10

就是说无穷小不是常数？？总觉得各种证明方法，定义总有点问题。。 ...

 

其实整个实数轴在我心里只有3个数常数A以及0和无穷。无穷小确实不是常数，1/0为什么没有意义是因为给不出这个数。无穷小也是给不出具体数字的。因为无穷小有个无穷。我搞得也好烦啊这个东西得学过实变函数的人可能搞得清楚点。

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