喜闻乐见的黎曼ζ函数。但是其实前文给出的黎曼函数的定义（无穷级数形式）仅仅是对于那些实数部分大于1的复数。换言之，Zeta函数怎么样在实数部分小于1的形式是没有定义的。那也就是说所谓的ζ(-1)，也就是楼主说的无穷级数，其实是没有定义的。
——那如果我们就是死活想算ζ(-1)，怎么办？
唯一的方法就是强行延展黎曼ζ函数的定义，使得它在整个复数上（包括负实数）有定义。但是需要强调的是，这样延展定义的方式不！唯！一！
但是我们希望这个延拓能够尽可能有好的性质，比如连续，或者可导什么的。比如说，我们有个函数f(x)只在正数上面有定义，f(x)=x。我们如果想延拓f(x)的定义到实数，最好是能让延拓好的函数不是很变态，比如说我们直接延拓说f(x)=-100x，就感觉不是很好，因为它看起来一点也不自然。
但是在复平面上，有一种特殊的延拓叫做“解析延拓”，其实就是让延展了定义的函数变得可导。这样整个复数平面上可导的函数很特别，有非常非常多良好的性质。而且最为重要的是如果ζ函数在那些实数部分大于1的复数有定义，那么他的解析延拓是唯一的。那我们对Zeta函数做解析延拓，然后ζ(-1)就被定义了。而且ζ(-1)=-1/12。但是我想指出来的是ζ(-1)其实和这个发散的无穷级数有关联，但是并非等价于，ζ(-1)=1+2+3+... 这完全是两码事。
比较巧合的是，如果我们按照别的方式定义求和，求和的结果恰好等于-1/12。这个具体求和的其他定义有很多（类似于上述所说的解析延拓），我也不是完全懂。但是比如说 1-1+1-1+1-1+...这个级数，有一种特殊的定义求和的方法，能让他也收敛到1/2。所以我觉得总结下来就是：
1. 在原来情况下定义的收敛和发散，1+2+3+... 是发散的。但是可以用其他方式定义求和（我们要求这个广义求和也有好性质），在某个广义求和的定义下，1+2+3+... 是收敛到-1/12。
2. 黎曼ζ函数的定义仅仅是对于那些实数部分大于1的复数，对于其他数怎么样定义我们不知道，包括ζ(-1)。我们想扩展黎曼函数的定义，其中最为特别的是解析延拓。解析延拓后的黎曼ζ函数可以求出来ζ(-1)=-1/12。但是并非是说ζ(-1)=1+2+3+...
