娱乐 【复活】数学算法挑战 —— 和上次完全一样的题目（有奖励）～

[tetrohedro]

6 分钟前，Tokur说道:

可能暂时没有，起码也要几个月之后才有这种闲情逸致啦，最近都忙忙的，总感觉什么事情没做，之后还有什么事情要做x

 

这方面四面体也有一模一样的感觉的说～

人生就是由不同的任务组成的说～

任务是做不完的说～

13 小时前，由tetrohedro修改

[safcz]

7 小时前，tetrohedro说道:

四面体再次成功烧毁了一个AI～

这道题实际上可以用AI做，只是得满足两个条件之一：

• 智能体AI
• 提示正确的方向

四面体这次在出题前已经反复让各种AI测试过题目的说～

有不少的AI在有限的提示下解决了这个问题，还有一个智能体AI不需要任何提示，就解决了这个问题。

字数: 112

所以是哪个AI不需要提示就能解

[Tokur]

2 分钟前，safcz说道:

所以是哪个AI不需要提示就能解

我也好奇，应该是某种带CLI agent的AI，光凭LLM自己估计做不到，肯定要带sage玩的。CLI Agent我都没用过，完全不熟，不过可能是Claude的？貌似有印象有这个功能

[367ddd]

让chatgpt来做，到椭圆曲线的推导都很正常，结果后面写sagemath代码的时候就开始犯病出现幻觉，经典开始调用错误的属性和错误的函数，以及提前投降说此题无解，放弃本题了

顺便，如果暴力求解的话，ABC在-2000到2000的取值范围内，可以找到-1936, -1849, -1764, -1681, -1600, -1521, -1444, -1369, -1296, -1225, -1156, -1089, -1024, -961, -900, -841, -784, -729, -676, -625, -576, -529, -484, -441, -400, -361, -324, -309, -289, -256, -225, -205, -196, -193, -169, -144, -121, -111, -100, -81, -64, -60, -57, -49, -36, -25, -24, -22, -17, -16, -11, -10, -9, -4, -1, 3, 5, 6, 9, 10, 14, 15, 19, 40, 41, 53, 66, 87, 159, 261这几个系数的解

[ikazuchi]

给一个等号右边给任意值的通用解法吧：

x/y + y/z + z/x = n
Step 1:
换元u=x/z,v=y/z，得
u/v + v + 1/u = n
Step 2:
换元X=-u, Y=uv，得
Y^2 + nXY + Y = X^3
即(a_1,a_2,a_3,a_4,a_6) = (n,0,1,0,0)的椭圆曲线
Step 3:
通过查表（例如LMFDB）或SageMath等计算工具得到椭圆曲线的rank，若rank=0，则很可能无解（用有限阶有理点推原方程的解很可能是错误的）。
若rank至少为1，则可以找到一个无穷阶的有理点，即可由此这个点推算原方程的整数解。
以下是求解的SageMath代码：

剧透

n = 92
E = EllipticCurve(QQ, [n, 0, 1, 0, 0])

E.two_descent(second_limit=15, verbose=True)
rank = E.rank()
print(f"EC rank = {rank}")

if rank < 1:
    print("Solve Failed: No inf-order points")
    exit()

generators = E.gens()
P = generators[0]
print(f"rational point P = {P}, order = {P.order()}")

X, Y = P.xy()
u = -X
if u == 0:
    print("Solve Failed: invalid rational point (X=0)")
    exit()

v = Y / u
den_u = u.denominator()
den_v = v.denominator()
z = den_u * den_v
x = u * z
y = v * z
g = gcd([x, y, z])
if g != 1 and g != 0:
    x //= g
    y //= g
    z //= g
print(f"Integer solution:")
print(f"x = {x}")
print(f"y = {y}")
print(f"z = {z}")

if x == 0 or y == 0 or z == 0:
    print("Check Failed: Invalid solution (Zero value)")
else:
    left = x*x*z + y*y*x + z*z*y
    right = n*x*y*z
    
    if left == right:
        print("Check Pass: the solution is correct")
        print(f"Left  = {left}")
        print(f"Right = {right}")
    else:
        print("Check Failed: invalid solution (Not equal)")
        print(f"Left  = {left}")
        print(f"Right = {right}")

然后是输出的结果：

剧透

Working with minimal curve [0,1,1,-1492439,701269845] via [u,r,s,t] = [1,-705,-46,32430]
Basic pair: I=71637088, J=-1212653937584
disc=5382104832
2-adic index bound = 2
By Lemma 5.1(a), 2-adic index = 1
2-adic index = 1
One (I,J) pair
Looking for quartics with I = 71637088, J = -1212653937584
Looking for Type 2 quartics:
Trying positive a from 1 up to 2821 (square a first...)
(1,0,-4232,4,4477272)   --trivial
Trying positive a from 1 up to 2821 (...then non-square a)
(277,176,-4190,-1340,16057)     --nontrivial...locally soluble...(x:y:z) = (-1891632 : 35661385544981 : 828271)
Point = [31972627018996679641497576950100026575573575:-18401847671127799092651220843820496649836:45351811426345621650009333682925120228141]
        height = 61.92236706
Rank of B=im(eps) increases to 1
Finished looking for Type 2 quartics.
Looking for Type 1 quartics:
Trying positive a from 1 up to 2821 (square a first...)
Trying positive a from 1 up to 2821 (...then non-square a)
Finished looking for Type 1 quartics.
Mordell rank contribution from B=im(eps) = 1
Selmer  rank contribution from B=im(eps) = 1
Sha     rank contribution from B=im(eps) = 0
Mordell rank contribution from A=ker(eps) = 0
Selmer  rank contribution from A=ker(eps) = 0
Sha     rank contribution from A=ker(eps) = 0
Searching for points (bound = 8)...done:
  found points which generate a subgroup of rank 0
  and regulator 1
Processing points found during 2-descent...done:
2-descent increases rank to 1,   now regulator = 61.92236706
Saturating (with bound = -1)...done:
  points were already saturated.
EC rank = 1
rational point P = (-11217639776756321041004430/1271734418987779814374290361 : -165129881198178499588183393974421656/45351811426345621650009333682925120228141 : 1), order = +Infinity
Integer solution:
x = 229365321791393105114775911058660762150
y = -10733680363511342830998605670315357876
z = 26002954279983814794511196680447493149805
Check Pass: the solution is correct
Left  = -5889615387302719627439057247103422259423225512549510026550109437132523984698081635906203006624869363617153515750404000
Right = -5889615387302719627439057247103422259423225512549510026550109437132523984698081635906203006624869363617153515750404000

和楼上给出的应该是同一组结果，只是轮换对称并乘了个-1

注：我在以上求解过程中尝试使用了Gemini、Grok和豆包（给了一定的提示），但没有一个完全做对的，Gemini和豆包都给出了无解的伪证，Gemini思路对了，但注意力不集中，换元时没有注意到正确的变换，导致后面全错，找了个错误的曲线以为rank=0无解。豆包则是用初等数论给出了一个伪证，看起来似乎像模像样，但实际上错误很严重，推理到后面就不记得自己在前面假设的条件了。Grok则不知道为什么一直沉迷于写程序穷举，给它提示后也只是换一种思路再写代码再穷举，然后说在它尝试的范围内找不到解。我把Gemini的伪证给Grok看，但Grok找不出真正的错误点。把豆包的伪证给Gemini看，倒是很快就发现问题了。从数学推理能力来看，Gemini在这几个里应该算是遥遥领先了。

[tetrohedro]

8 小时前，Tokur说道:

我也好奇，应该是某种带CLI agent的AI，光凭LLM自己估计做不到，肯定要带sage玩的。CLI Agent我都没用过，完全不熟，不过可能是Claude的？貌似有印象有这个功能

字数: 51

没错的说～

的确是Claude的说～

[tetrohedro]

7 小时前，367ddd说道:

让chatgpt来做，到椭圆曲线的推导都很正常，结果后面写sagemath代码的时候就开始犯病出现幻觉，经典开始调用错误的属性和错误的函数，以及提前投降说此题无解，放弃本题了

顺便，如果暴力求解的话，ABC在-2000到2000的取值范围内，可以找到-1936, -1849, -1764, -1681, -1600, -1521, -1444, -1369, -1296, -1225, -1156, -1089, -1024, -961, -900, -841, -784, -729, -676, -625, -576, -529, -484, -441, -400, -361, -324, -309, -289, -256, -225, -205, -196, -193, -169, -144, -121, -111, -100, -81, -64, -60, -57, -49, -36, -25, -24, -22, -17, -16, -11, -10, -9, -4, -1, 3, 5, 6, 9, 10, 14, 15, 19, 40, 41, 53, 66, 87, 159, 261这几个系数的解

字数: 96

这张表看起来好熟悉～

四面体在出题时，准备了一张基本一模一样的表的说～

ChatGPT实际上可以解这道题的说～ 不过需要一些辅助的说～ 

如果将ChatGPT配合Codex和一些提示的话，就可以解决的说～

[tetrohedro]

5 小时前，ikazuchi说道:

和楼上给出的应该是同一组结果，只是轮换对称并乘了个-1

注：我在以上求解过程中尝试使用了Gemini、Grok和豆包（给了一定的提示），但没有一个完全做对的，Gemini和豆包都给出了无解的伪证，Gemini思路对了，但注意力不集中，换元时没有注意到正确的变换，导致后面全错，找了个错误的曲线以为rank=0无解。豆包则是用初等数论给出了一个伪证，看起来似乎像模像样，但实际上错误很严重，推理到后面就不记得自己在前面假设的条件了。Grok则不知道为什么一直沉迷于写程序穷举，给它提示后也只是换一种思路再写代码再穷举，然后说在它尝试的范围内找不到解。我把Gemini的伪证给Grok看，但Grok找不出真正的错误点。把豆包的伪证给Gemini看，倒是很快就发现问题了。从数学推理能力来看，Gemini在这几个里应该算是遥遥领先了。

字数: 414

看来有理点的高度还是不够高～

下次四面体如果出类似的题目的话，需要提升有理点的高度～

Gemini的数学推理能力的确鹤立鸡群，四面体在使用时也感到Gemini能够解决其他AI解决不了的数学问题。