娱乐 又 是 一 个 数 学 挑 战 #1

[Fezz240]

每天不给自己复个习，隔天就会增添一分咸鱼的模样（某喵：虾米？？？我家主人脑袋已经烧了，都不知道再讲啥了喵...
所以就来出个题吧～答案在3位数到4位数之间，穷举的话应该还是可行（吧？
#题：

x + y 小于等于 50 的非负整数解共有几组？

#为了避免脑没动到而出的另一题：

x + y 小于等于 50 的非负整数解之中，满足 x 大于等于 y 的共有几组？

[抹消思绪]

1225和625吧。

又瞄了一眼，明明是非负整数我给算成正整数了，1324和675。

太困了睡觉去。

五月 19, 2021，由抹消思绪修改

[fdcrane]

对于第一问，对于x与y之和的每一个整数值z，只要取定一个小于等于z的非负整数x，都会有一个符合条件的y对应。这也就是说，对于任何一个z，都有z+1种(x,y)满足条件。而在小于等于50的条件下，z的取值有从0到50一共51种。所以第一题的解大概是1到51的代数和1326

 

第二题和第一题是一样的，只不过x的取值要大于等于z/2，对于奇数z来说，个数就是前一题的一半，而对于偶数，则是前一题的一半向上取整。这就意味着，对于任何一个偶数，满足条件(x,y)组数和比它大1的奇数是一样的。所以说，z从0到49满足条件的解一共有1到25代数和的2倍，再加上z取50时解的个数26，总数为676

大概就是这样w

[skaldskaldskald]

。。。。。。高手。。。

[黔驴技穷]

第一题想了会儿, 每个总和都有都有总和+1个组合吧，例如4就有 4+0, 3+1, 2+2, 1+3, 0+4, 五个组合，这么想来从0到50, 就是1+2+3+4+5....+51吧

（50+1）*25+51=1326

 

第二题的话看了几个组合的规律， 假如总和=4，那么有5个组合，1、2组合是x>y，3是x=y，4、5是y>x，这么看来有每个总和有总和/2的组合

所以0到50的话会变成, 0+1+1+2+2+3+3.....+25+25, 也就是((24+1)*12+25)*2=650？

 

眼瞎没看到是“大于等于”，把等于吃了,这样的话应该就是1+1+2+2+3+3.........+25+25+26
也就是650+26=676

五月 21, 2021，由黔驴技穷修改

[Fezz240]

正解：１３２６与６７６，大家的答案不是正确就是十分接近呢～拍手拍手
下面再来讲讲水晶酱怎么解的
１．排列组合

第一题，我现在有50颗蛋要分给ｘｙ两人，但是在运送过程中有些破了，这些丢到垃圾桶ｚ里
题目变成：ｘ＋ｙ＋ｚ＝50的非负整数解
再转化：将50个「1」跟2个「＋」排列的方式数量？
例：＋＋(1*50)，代表 ｘ＝ 0，ｙ＝ 0，ｚ＝ 50
例：(1*15)+(1*20)+(1*15)，代表ｘ＝ 15，ｙ＝ 20，ｚ＝ 15
排列方式：
先把50个1排成一列，至此只有一种排法（大家都一样，没得排）
此时在这50个1左右插入一个＋，共有51个位置可插入
再插入一个＋，共有52个位置可插入
然而诸如「先插入第26个位置再插入第43个位置」与「先插入第43个位置再插入第26个位置」这两种解其实是一样的，因此最后答案除二
51*52／2 = 1326

第二题，先取第一题的答案1326，其中：
ｘ＞ｙ与ｘ＜ｙ的解数量相同，加上ｘ＝ｙ的解＝1326
ｘ＝ｙ的解很好算，(0, 0)  (1, 1)  (2, 2)... (25, 25)共26组
(1326 - 26)／2则是ｘ＞ｙ或ｘ＜ｙ的解数量，加回26就是ｘ大于等于ｙ解的数量
650＋26 ＝ 676

２．线性规划

第一题，画出ｘ＋ｙ大于等于50的线，与ｘｙ轴形成三角形，交点(0, 0)，(50, 0)，(0, 50)
其中在三边上的格子点共51＋51＋51－3＝150个
利用皮克定理：面积＝(多边形边上格子点／2)＋多边形内格子点－1
50*50／2 = (51＋51＋51－3)／2＋i－1
i = 1176
加上边上格子点个数 1176 + 150 = 1326

第二题，在第一题的图上，再做ｘ等于ｙ的线，与ｘ轴和题一所画的线形成三角形，交点(0, 0)，(25, 25)，(50, 0)
边上格子点＝51＋26＋26－3＝100
再利用皮克定理
50*25／2 = (51＋26＋26)／2＋i－1
i = 576
加上边上格子点个数 576 + 100 = 676

五月 20, 2021，由Fezz240修改