娱乐 [数学算法挑战]趁有空，悄咪咪出个数列相关的数学问题

[Tokur]

防止没get到方法，补充了两个小问

已知对于任意正整数n,有a(n+1)=a(n)^2-2
(I)a(1)=1,求a(n)
(II)a(1)=2,求a(n)
(III)a(1)=3,求a(n)

虽然说这是个非线性递推公式，不过构造技巧足够的话，也不需要什么特别高端的工具呢w

九月 10, 2022，由Tokur修改

[抹消思绪]

好了，前两问结果易得，摆烂了。

[Tokur]

3 分钟前，抹消思绪说道:

好了，前两问结果易得，摆烂了。

前两问结果显然，剩下一问证明交给读者（x）

[huancai77]

代换a_n=2cosh(x_n)  (cosh(x)=(e^x+e^-x)/2)  得到一个式子（具体啥可以自己写下，没有latex太麻烦）

利用性质cosh(2x)=2*cosh(x)^2-1 得到cosh(x_{n+1})=cosh(2*x_n)  取同一支就有x_{n+1}=2*x_n

a1=3即e^x1+e^-x1=3,解得两根p，q

a_n=2cosh(2^n-1 *x1)=(e^x1)^(2^n-1)+(e^-x1)^(2^n-1)=p^(2^n-1)+q^(2^n-1)

事实上 对x_{n+1}=ax_n^2+bx_n+c，判别式为2b 或2b+8的都有显的结果 一种配方做 另一种三角换元

其他情况基本没有 可以看看Mandelbrot set

[骚男]

……构造时意识到了一些不对劲（咱已经是多年没碰数学的废物辣w

不过倒是能构造出来

1/2 a_(n+1) = 1/2 a_n ^ 2 -1

然后就是楼上用到的三角换元 

不过完整来看，是要判断1/2 an 的范围，来决定用cosx 还是 coshx ……

依稀记得这个-2系数是比较特殊的来着？

[Tokur]

16 小时前，huancai77说道:

代换a_n=2cosh(x_n)  (cosh(x)=(e^x+e^-x)/2)  得到一个式子（具体啥可以自己写下，没有latex太麻烦）

利用性质cosh(2x)=2*cosh(x)^2-1 得到cosh(x_{n+1})=cosh(2*x_n)  取同一支就有x_{n+1}=2*x_n

a1=3即e^x1+e^-x1=3,解得两根p，q

a_n=2cosh(2^n-1 *x1)=(e^x1)^(2^n-1)+(e^-x1)^(2^n-1)=p^(2^n-1)+q^(2^n-1)

好喔w 答案基本是对的，除了懒没解pq外233（x）p,q解出来是(3±\sqrt{5})/2，不过说起来咱想问问，ch(x_{n+1})=ch(2x_n)可以直接取x_{n+1}=2*x_n呢x 如果取x_{n+1}=-2*x_n似乎也是可以的 除了使用面向答案证明的数学归纳法，似乎无论是使用三角换元用复数表示还是双曲换元，都躲不开这个问题 @huancai77

16 小时前，huancai77说道:

事实上 对x_{n+1}=ax_n^2+bx_n+c，判别式为2b 或2b+8的都有显的结果 一种配方做 另一种三角换元

其他情况基本没有 可以看看Mandelbrot set

是的w 不过有些情况是可以得出类常数列的结果w

九月 11, 2022，由Tokur修改

[Tokur]

9 小时前，骚男说道:

……构造时意识到了一些不对劲（咱已经是多年没碰数学的废物辣w

不过倒是能构造出来

1/2 a_(n+1) = 1/2 a_n ^ 2 -1

然后就是楼上用到的三角换元 

不过完整来看，是要判断1/2 an 的范围，来决定用cosx 还是 coshx ……

依稀记得这个-2系数是比较特殊的来着？

揉揉男酱w 其实这个例子是咱在学不动点构造的时候想到的

这个数列能解出不动点2和-1，不过也仅限于此，得到a(n+1)-2=(a(n)-2)(a(n)+2)这样的形式，后面就无法继续推进了

其实如果不限制使用复数表示的话，用cos和cosh都是可以的说，在前者会得到一个复数三角函数表示实数的一个实例ww

[抹消思绪]

19 小时前，Tokur说道:

前两问结果显然，剩下一问证明交给读者（x）

所以第三问和前两问到底有什么关系。

[Tokur]

刚刚，抹消思绪说道:

所以第三问和前两问到底有什么关系。

都··都可以用数学归纳法做（x）

[骚男]

2 小时前，Tokur说道:

揉揉男酱w 其实这个例子是咱在学不动点构造的时候想到的

这个数列能解出不动点2和-1，不过也仅限于此，得到a(n+1)-2=(a(n)-2)(a(n)+2)这样的形式，后面就无法继续推进了

其实如果不限制使用复数表示的话，用cos和cosh都是可以的说，在前者会得到一个复数三角函数表示实数的一个实例ww

 龙娘，斯巴拉西！

 问了咱搞数学的同学，如果不是-2的话，推不出正常的通项（大概这个意思w

 那么龙娘会去参加竞赛这类的嘛  （有端联想，今天是高中数竞的复赛w

[huancai77]

4 小时前，Tokur说道:

好喔w 答案基本是对的，除了懒没解pq外233（x）p,q解出来是(3±\sqrt{5})/2，不过说起来咱想问问，ch(x_{n+1})=ch(2x_n)可以直接取x_{n+1}=2*x_n呢x 如果取x_{n+1}=-2*x_n似乎也是可以的 除了使用面向答案证明的数学归纳法，似乎无论是使用三角换元用复数表示还是双曲换元，都躲不开这个问题 @huancai77

是的w 不过有些情况是可以得出类常数列的结果w

这是因为把sin 和 sinh分开本来就是一种委曲求全的作法 如果我们在复数域上看就有一种统一的思路

复数域上 sinz=(e^iz-e^-iz)/2i  cosz=(e^iz+e^-iz)/2

明显有z属于R时和原来的三角函数一样 z=-iR时有cosh(R)=cos(-iR) sinh(R)=isin(-iR)    (也就是说ch和原来的cos均是复的cos的一个截面)

此时，和ch的偶函数性质不同 只有cos(z)=cos(z+2kpi)的周期性，该周期性实际上是由e^z带来的（实际上那个负号就隐藏在周期性中）

那么，我们实际上可以令一种新的“数”z_0={所有z_0+2kpi}（这形成了一种等价关系），那实质上就把复数域用2pi长的带子割开了（这实际上是一个求取商集的过程）

那我们就可以做对应：域C 对应 新数 对应 代表元（0<=Im<2pi),这最后解释了为啥我们可以直接取0<=Im<2pi这样一个定义域（cos的一支）在实的就对应是取了0到正无穷那一段

 

[Tokur]

3 小时前，骚男说道:

 龙娘，斯巴拉西！

 问了咱搞数学的同学，如果不是-2的话，推不出正常的通项（大概这个意思w

 那么龙娘会去参加竞赛这类的嘛  （有端联想，今天是高中数竞的复赛w

咱在网上有查到相应的判别式什么的w

猜猜www

[Tokur]

1 小时前，huancai77说道:

这是因为把sin 和 sinh分开本来就是一种委曲求全的作法 如果我们在复数域上看就有一种统一的思路

复数域上 sinz=(e^iz-e^-iz)/2i  cosz=(e^iz+e^-iz)/2

明显有z属于R时和原来的三角函数一样 z=-iR时有cosh(R)=cos(-iR) sinh(R)=isin(-iR)    (也就是说ch和原来的cos均是复的cos的一个截面)

此时，和ch的偶函数性质不同 只有cos(z)=cos(z+2kpi)的周期性，该周期性实际上是由e^z带来的（实际上那个负号就隐藏在周期性中）

那么，我们实际上可以令一种新的“数”z_0={所有z_0+2kpi}（这形成了一种等价关系），那实质上就把复数域用2pi长的带子割开了（这实际上是一个求取商集的过程）

那我们就可以做对应：域C 对应 新数 对应 代表元（0<=Im<2pi),这最后解释了为啥我们可以直接取0<=Im<2pi这样一个定义域（cos的一支）在实的就对应是取了0到正无穷那一段

 

唔姆w 前面的部分咱可以理解 查了一下，后面的部分是集合论的东西嘛ww 虽然说咱还没学到x，但是感觉很奇妙的说ww 商集什么的还没了解过x 倒是代表元在学初等数论的时候有了解到

九月 11, 2022，由Tokur修改

[Tokur]

嘛ww 咱给一个面向答案写题的证明，如下:

[骚男]

20 小时前，Tokur说道:

咱在网上有查到相应的判别式什么的w

猜猜www

 

20 小时前，Tokur说道:

唔姆w 前面的部分咱可以理解 查了一下，后面的部分是集合论的东西嘛ww 虽然说咱还没学到x，但是感觉很奇妙的说ww 商集什么的还没了解过x 倒是代表元在学初等数论的时候有了解到

 快去学离散数学，可有意思了（

 玩玩反正无妨ww

[Tokur]

6 小时前，骚男说道:

 快去学离散数学，可有意思了（

 玩玩反正无妨ww

突然好奇男酱是学什么的（）数学么wwwww

九月 12, 2022，由Tokur修改

[骚男]

18 小时前，Tokur说道:

突然好奇男酱是学什么的（）数学么wwwww

以前稍微辅修了一些计科的东西，所以会有一些涉及（指离散w

[makuwa]

这个其实看形式就很容易想到，令an=x+1/x,那么an^2就=(x+1/x)^2=x^2+1/x^2+2。而an+1=an^2-2就恰好=x^2+1/x^2。所以{an}就是可以写成x^2+1/x^2的形式的东西。

那么当a1=a时，x+1/x = a

即x^2-a*x+1 = 0，用求根公式就能求出x^2是多少，再开个跟就是x。

同样当类似的形式，当an+1=an^2-2b，a1=a时，这个公式就是x^2-a*x+b = 0

所以题目中的三问的答案分别是：

(1).  {an} = ((1+sqrt(-3))/2)^(2^(n-1))+((1-sqrt(-3))/2)^(2^(n-1))由于2^n肯定不能整除3，所以当n>=2时这里的x和1/x的幅角肯定是3n+1或3n+2，再加上x的模长为1，所以这两个共轭负数的和必为-1，所以{an}={1, -1, -1...} 

(2).{an} = (1^(2^(n-1))+(1^(2^(n-1))=2

(3).{an} = ((3+sqrt(5))/2)^^(2^(n-1))+((3-sqrt(5))/2)^(2^(n-1))

 

同理，如果题目给的是an+1=an^2-1，那么就设an=sqrt(1/2)*x^(2^(n-1))+sqrt(1/2)/x^(2^(n-1))

如果题目给的是an+1=an^2-200，那么就设an=10*x^(2^(n-1))+10/x^(2^(n-1))

用这个方式也可以算：a1=114514，an+1=an^2-1919810时的通向公式，有想法的话也可以用计算器验证哦~

 

 

以下是修改增添内容（再给你们扩展一下这道题）：

顺道一提，如果数列递推公式的形式是an+1=k*an^2+k*b的话,那么可以简单地把这个系数a给提取出来，通向公式就是：an=k^n*(x^(2^(n-1))+(-b/2x)^((2)^(n-1))，其中x为x^2-a1*x+b = 0的解。

例：an+1=3*an^2+8=3*an^2+3*8/3, a1=4，求{an}

解：令an=x-8/3x，则an+1=3*an^2+8=3*(x^2-(8/3x)^2)

故当a1=4时，

令a1=x-8/3x

x-8/3x=4

x^2-4x-8/3=0

x1x2=-8/3(韦达定理)

∴我们要求的x和8/3x其实就是方程的两根x1和x2

解得x1=2+sqrt(20/3)

        x2=2-sqrt(20/3)

所以an=3^n*((2+sqrt(20/3))^(2^n-1)-(2-sqrt(20/3))^(2^(n-1)))

九月 14, 2022，由makuwa修改