第二问也是一样的方法,设第n层的概率为p(n),有p(0) = 1,p(1) = 1/3,p(2) = 4/9
然后就有p(n) - p(n-1)/3 - p(n-2)/3 - p(n-3)/3 = 0
从p(1)开始就有
1/3,4/9,16/27,37/81,121/243,……
答案是121/243
嘛……离散数学里的一点知识吧,
斐波那契数列这样的数列的通项公式就是这么来的
像这种 a_0*F(n)+a_1*F(n-1)+……+a_k*F(n-k) = 0 的递推方程
可以构造特征方程 a_0*x^k + a_1*x^(k-1) + …… + a_k = 0
求出这个方程的根(这个根叫做递推方程的特征根,可以是复数根)
q_1 , q_2 , q_3 , …… ,q_k (如果没有重根的话)
则这个递推方程的通解就是 f(n) = C_1*q_1^n + …… + C_2*q_2^n+ …… +C_k*q_k^n
这个证明可以自己尝试一下,不是很难
然后代入k个初始条件就可以求得系数C_1,C_2,……C_k的值从而求出特解
如果出现重根的话对特征根的处理比较特殊,这里就不展开说了
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第三问没理解错的话应该是选择每一上楼的方案的概率都是相等的,而不是每一步走的每一种台阶数的概率是相等的
这样的话就有
安全上二楼的概率 = (所有方案的个数-需要经过第五层台阶的方案的个数)/所有方案的个数
如果第5层层没有设机关
则粉毛走到第5层台阶后还要再走5层才能到第10层
所以需要经过第五层台阶的方案的个数 = F(5)*F(5)
安全上二楼的概率 = (F(10) - F(5)*F(5))/F(10) = (274-13*13)/274 = 105/274<121/243
比蓝毛要危险一点呢